ОДЗ - Область допустимых значений

Область  допустимых  значений  (ОДЗ)  – это  все  значения  переменной, при которых не нарушаются правила математики.

Например:

- если в выражении \(\frac{x}{x-1}\) значение переменной будет равно 1, нарушается правило: на ноль делить нельзя. Поэтому здесь \(x\) не может быть единицей и ОДЗ записывается так: \(x\neq1\);

- если в выражении \(\sqrt{x-2}\) значение переменной равно \(0\), нарушается правило: подкоренное выражение не должно быть отрицательно. Значит, здесь \(x\) не может быть \(0\), а также \(1, -3, -52,7\) и т.д. То есть, икс должен быть больше или равен 2 и ОДЗ будет: \(x\geq2\);

- а вот в выражение \(4x+1\) мы можем подставить любое число вместо икса, и никакие правила нарушены не будут. Поэтому область допустимых значений здесь - вся числовая ось. В таких случаях ОДЗ не записывают, потому что оно не несет в себе полезной информации.




Как найти ОДЗ?

Если переменная (икс) в уравнении или неравенстве стоит в знаменателе, логарифме, под корнем, в тангенсе или котангенсе ОДЗ записать нужно.

таблица с примерами использования ОДЗ

В квадратных и линейных  уравнениях (неравенствах) ОДЗ писать не нужно. В иррациональных, дробно-рациональных, логарифмических, а также тригонометрических с тангенсом и котангенсом - ОДЗ обязательно. В уравнениях с синусом и косинусом - если нет знаменателей или других «отягощающих» функций - ОДЗ не записывают.


Чтобы осознать важность ОДЗ, давайте сравним два решения уравнения: с ОДЗ и без ОДЗ.

Пример:      Решить уравнение  \(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\)
Решение:

Без ОДЗ:                          С ОДЗ:
\(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\)   \(\frac{x^2-x}{x+3}=\frac{12}{x+3}\)
   ОДЗ:  \(x+3≠0\) \(⇔\) \(x≠-3\)
\(x^2-x=12\) \(x^2-x=12\)
\(x^2-x-12=0\) \(x^2-x-12=0\) 
\(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\) \(D=(-1)^2-4·1·(-12)=49\)
\(x_1=\)\(\frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2·1}\)\(=4\) \(x_2=\)\(\frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2·1}\) \(=4\)
\(x_1=\)\(\frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2·1}\)\(=-3\) \(x_2=\)\(\frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2·1}\)\(=-3\) - не подходит под ОДЗ
Ответ: \(4; -3\)   Ответ: \(4\)

Видите разницу? В первом решении у нас в ответе появился неверный, лишний корень! Почему неверный? А давайте попробуем подставить его в исходное уравнение.

\(\frac{(-3)^2-(-3)}{(-3)+3}\)\(=\)\(\frac{12}{(-3)+3}\)
\(\frac{12}{0}\)\(=\)\(\frac{12}{0}\)

Видите, у нас получились и слева, и справа невычислимые, бессмысленные выражения (ведь на ноль делить нельзя). И то, что они одинаковы уже не играет роли, поскольку эти значения - не существуют. Таким образом, "\(-3\)" – неподходящий, посторонний корень, а область допустимых значений оберегает нас от таких серьезных ошибок.

Именно поэтому за первое решение вы получите двойку, а за второе – пятерку. И это не занудные придирки учителя, ведь неучет одз – не мелочь, а вполне конкретная ошибка, такая же как потерянный знак или применение не той формулы. В конце концов, итоговый ответ-то неверен!



Нахождение области допустимых значений часто приводит к необходимости решать системы неравенств или уравнений, поэтому вы должны уметь это делать хорошо.

Пример: Найдите область определения выражения \(\sqrt{5-2x}+\)\(\frac{1}{\sqrt{14+5x-x^{2}}}\)

Решение: В выражении два корня, один из которых в знаменателе. Кто не помнит ограничения, накладывающиеся в этом случае, тот смотрит таблицу. Кто помнит, записывает, что выражение под первым корнем больше или равно нулю, а под вторым - больше нуля. Понимаете, почему ограничения именно такие?

\(\begin{cases}5-2x\geq0\\14+5x-x^{2} > 0\end{cases}\)

Дело за малым, нужно решить систему неравенств.
В первом неравенстве перенесем \(5\) вправо, второе умножим на \(-1\)

\(\begin{cases}-2x\geq-5\\x^{2}-5x-14 < 0\end{cases}\)

Поделим первое неравенство на \(-2\).
Второе разложим на множители.

\(\begin{cases}x\leq2,5\\(x-7)(x+2) < 0\end{cases}\)

Отметим все корни первого неравенства на числовой оси.
Чтобы решить второе - воспользуемся методом интервалов

решение системы неравенств.png

Запишем общий ответ для системы – это и есть допустимые значения для икса.

Ответ: \((-2;2,5]\)
Скачать статью


Хочу задать вопрос

*
Настя
спасибо огромное, начала понимать о чем идет речь"
Администратор сайта
Рады помочь! Заходите еще. :)
Михаил
Вот если бы нас в 8 классе учили так же как вы...
Администратор сайта
Спасибо за комплимент. Стараемся. :)
анастасия
помогите, пожалуйста, решить " Нйти ОДЗ (x^2+3x+1)/(x+1)
Администратор сайта
Здравствуйте, Анастасия. Перечитайте самое начало статьи: первый же пример, там где х/(х-1). У вас такая же ситуация.
На всякий случай, еще раз поясню: Чтобы найти ОДЗ надо убрать все иксы, которые недопустимы. В вашем выражении есть только одна опасность - знаменатель, потому что если он будет равен нулю, мы придем к делению на ноль. Поэтому икс не может быть таким чтоб знаменатель был равен нулю. Таким образом, имеем:
x+1 не равно 0
х не равно -1
То есть, у нас икс может быть любым числом, кроме -1.