Косинус

Коcинус – одна из тригонометрических функций. Значение косинуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).


Примеры:

\(\cos{⁡30^°}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)



Содержание:


Аргумент и значение

аргумент и значение косинуса



Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.

угол

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

нужно найти отношение прилежащего катета на гипотенузу

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.

косинус - это отношение прилежащего катета на гипотенузу


Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.



Косинус числа

Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).

как определить косинус числа

Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.




Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

как определить косинус тупого угла

Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

как определить косинус отрицательного угла

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

как определить косинус угла больше 360 градусов

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.


Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла - отрицателен.




Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по четвертям числовой (тригонометрической) окружности:

- там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
- там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III  четверти – фиолетовая область).

знаки косинуса в разных четвертях


Пример. Определите знак \(\cos 1\).
Решение: Найдем \(1\) на тригонометрическом круге. Будем отталкиваться от того, что \(π=3,14\). Значит единица, примерно, в три раза ближе к нулю (точке «старта»).

1 на числовой окружности

Если провести перпендикуляр к оси косинусов, то станет очевидно, что \(\cos⁡1\) – положителен.
Ответ: плюс.



Связь с другими тригонометрическими функциями:

синусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
тангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac{1}{\cos^2⁡x}\)
котангенсом и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.



Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:

косинусоида

График данной функции называется косинусоида и обладает следующими свойствами:

      - область определения – любое значение икса:   \(D(\cos{⁡x} )=R\)
      - область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\cos{x} )=[-1;1]\)
      - четная:   \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
      - периодическая с периодом \(2π\):   \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
      - точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
             ось ординат:   \((0;1)\)
      - промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция отрицательна на интервалах:   \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
      - промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция убывает на интервалах:    \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
       - максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
             функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).



Смотрите также:

Синус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения \(\cos⁡x=a\)

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*