Синус

Синус – одна из тригонометрических функций. Значение синуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).


Примеры:

\(\sin{⁡30^°}=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\sin⁡\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin⁡2=0,909…\) 

Содержание:




Аргумент и значение

аргумент и значения синуса



Синус острого угла

Синус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.

угол

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

определение синуса через треугольник

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить \(sinA\).

определение синуса через катет и гипотенузу



Синус числа

Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - синус будет равен \(0,5\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).

значение синуса на числовой окружности

Синус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице.

Значение синуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.




Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

синус тупого угла

Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам \(\sin⁡∠KOA\).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.

синус отрицательного угла

И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).

синус угла больше 360 градусов

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.




Связь с другими тригонометрическими функциями:

косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой \(tg⁡x=\)\(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\)
котангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+сtg^2⁡x=\)\(\frac{1}{\sin^2⁡x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.




Функция \(y=\sin⁡x\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

синусоида.png

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

      - область определения – любое значение икса:   \(D(\sin⁡x )=R\)
      - область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно:    \(E(\sin⁡x )=[-1;1]\)
      - нечетная:   \(\sin⁡(-x)=-\sin⁡x\)
      - периодическая с периодом \(2π\):   \(\sin⁡(x+2π)=\sin⁡x\)
      - точки пересечения с осями координат:
             ось абсцисс:   \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)
             ось ординат:   \((0;0)\)
      - промежутки знакопостоянства:
             функция положительна на интервалах:   \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция отрицательна на интервалах:    \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
      - промежутки возрастания и убывания:
             функция возрастает на интервалах:    \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
             функция убывает на интервалах:    \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
       - максимумы и минимумы функции:
             функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\)
             функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\).



Смотрите также:

Косинус
Тангенс
Котангенс
Решение уравнения \(\sin⁡x=a\)

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*