Синус
Синус – одна из тригонометрических функций. Значение синуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).
Примеры:
\(\sin{30^°}=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\sin\)\(\frac{π}{3}\)\(=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin2=0,909…\)
Содержание:
- Аргумент и значение
- Синус острого угла
- Синус числа
- Синус любого угла
- Связь с другими функциями
- Функция
Аргумент и значение
Синус острого угла
Синус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить \(sinA\).
Синус числа
Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.
Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи: \(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{4}\), \(-2π\).
Например, для числа \(\frac{π}{6}\) - синус будет равен \(0,5\). А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).
Подробнее как вычисляется синус разных чисел можно прочитать в этой статье.
Значение синуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.
Синус любого угла
Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать - проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.
Теперь пояснение: пусть нужно определить \(sin∠КОА\) с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам \(\sin∠KOA\).
Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.
И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС) - всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).
Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) - целых семь.
Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
- косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством \(\sin^2x+\cos^2x=1\)
- тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой \(tgx=\)\(\frac{\sinx}{\cosx}\)
- котангенсом того же угла (или числа): формулой \(1+сtg^2x=\)\(\frac{1}{\sin^2x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Функция \(y=\sinx\)
Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) - соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:
График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:
- область определения – любое значение икса: \(D(\sinx )=R\)
- область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\sinx )=[-1;1]\)
- нечетная: \(\sin(-x)=-\sinx\)
- периодическая с периодом \(2π\): \(\sin(x+2π)=\sinx\)
- точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((πn;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;0)\)
- промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
- промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\)\(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
- максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πn\), где \(n ϵ Z\).
Смотрите также:
Хочу задать вопрос