Решение уравнений cosx=a

решение всех видов простейших уравнений

7 вопросов по решению уравнений вида cos⁡x=a

  1. - Есть ли алгоритм решения уравнения \(\cos x=a\)?
  2. - Да, и он очень прост:
    • Постройте числовую окружность и оси;
    • Отметьте на оси косинусов число \(a\);
    • Проведите перпендикуляр и найдите одно из значений каждой точки, в которых перпендикуляр пересекается с окружностью. Обычно это два числа с противоположным знаком.
    • Запишите ответ в виде \(x=± (одно\: из\: чисел)+2πn;\)     \(n∈Z.\) 

  3. - Где 1 на оси косинусов?
    - Радиус тригонометрического круга равен \(1\), поэтому \(1\) на оси косинусов и \(0\) на круге совпадают. Кстати, \(-1\) на оси косинусов и \(π\) на круге тоже совпадают.

  4. – Если \(a\) больше \(1\) и меньше \(-1\), то перпендикуляр не пересекает числовую окружность, тогда как решать уравнение?
    - Косинус не может быть больше \(1\) и меньше \(-1\). Поэтому нету иксов, при которых косинус равен \(\frac{6}{5}\) или \(1000\) или \(-1,3\). В этом случае в ответ пишем: «решений нет». 

  5. - Как узнать значение точки пересечения окружности и перпендикуляра?
    - Лучше всего хорошенько разобраться в тригонометрическом круге – его легко воспроизвести на экзаменах. Также можно использовать таблицу значений тригонометрических функций, но её на ЕГЭ не раздают. 

  6. – А если \(a\) не табличное значение?
    - В этом случае мы используем арккосинус. Арккосинус - тоже число, но не привычное. Если по-простому, то \(\arccos⁡(a)\) – это такое число, косинус которого равен \(a\). Например, \(\arccos⁡(\frac{1}{5})\) это число, косинус которого равен \(\frac{1}{5}\). Иными словами, \(\cos(\arccos⁡(\frac{1}{5}) )=\frac{1}{5}\).
    Таким образом, ответ будет выглядеть так: \(x=±arccos⁡(a)+2πn;\) \(n∈Z\).
    Арккосинус можно вычислить только для \(a∈[-1;1]\). Никаких \(\arccos⁡(\frac{6}{5}\)) или \(\arccos⁡(- 3)\)! 

  7. - Зачем нужно \(+2πn\), \(nϵZ\)?
    - Уравнение считается решенным только если найдены все его корни. Если же не записать хотя бы один – уравнение будет решено неверно.
    Корнями уравнения \(\cos ⁡x=a\) будут все значения точек пересечения перпендикуляра и окружности. А так как по окружности можно совершить бесконечно много оборотов длиной \(2π\) каждый (см. ниже), то и точек пересечения будет бесконечно много. И чтобы записать именно все значения точки - к одному из её чисел добавляют \(+2πn\), \(nϵZ\). 

  8. - Почему именно \(2πn\), а не \(3πk\), \(707l\) и т.д.?
    - Потому что длина окружности равна именно \(2π\). При этом \(n\) является целым числом, (ведь \(n∈Z\), а буквой \(Z\) обозначают множество всех целых чисел). Таким образом, мы при каждом \(n\) мы будем совершать некоторое число полных оборотов, оказываясь в той же точке. А значит запись \(+2πn\), \(nϵZ\) позволяет забрать все нужные нам значения.
    Кстати, вместо \(n\) можно писать любую букву: \(k\),\(m\),\(l\) – это не принципиально, важно лишь добавить в конце \(kϵZ\), \(mϵZ\) и т.д. Более подробно о записи корней тригонометрического уравнения можете узнать здесь.

Смотрите также:
Косинус
Решение уравнений \(sin\;x=a\)
Решение уравнений \(tg\;x=a\) и \(ctg\;x=a\)
Тригонометрические уравнения

Хочу задать вопрос

*