Синус и косинус равны не табличному значению. Как решить уравнение? Часть 2

Синус равен не стандартному значению

В прошлой статье мы разобрали как решать простейшие тригонометрические уравнения со стандартными значениями, т.е. вот эти:

Но бывает так, что нужно решить уравнение, в котором синус равен не табличному значению. Например, как решить уравнение \(\sin⁡x= \frac{1}{3}\)? Давайте обо всем по порядку.

Сначала действуем, как и при решении стандартных уравнений:
1. Чертим оси и тригонометрический круг
2. На оси синусов отмечаем нужное значение
3. Проводим к оси перпендикуляр

А что дальше? Какие значения будут получаться на круге? Не \(\frac{π}{6}\), не \(\frac {π}{4}\), и даже не \(\frac{π}{7}\) - вообще никакие привычные числа не подходят. Однако при этом очевидно, что значения эти есть. Но как их записать? Вот тут-то на помощь и приходит арксинус! Значение правой точки равно \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\). Почему? Да потому что синус равен \(\frac{1}{3}\) .

Ок, значение правой точки найдено, как найти значение левой? Давайте подумаем. Значение дуги от нуля до правой точки равно \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\).

Но дуга от \(π\) до левой точки имеет такую же длину:

Значит, если мы пройдем от \(π\) против часовой стрелки на величину \(\arcsin⁡\frac{1}{3}\) мы попадем в левую точку. Иными словами, значение в левой точке равно \(π-\arcsin⁡\frac{1}{3}\).

Теперь мы можем записать все корни уравнения: \( \left[ \begin{gathered} x_1=\arcsin⁡\frac{1}{3}+2πn\\ x_2=π-\arcsin⁡\frac{1}{3}+2πn,  \,    n∈Z\end{gathered}\right.\). Не понимаешь откуда появилось "\(2πn\)" и "\(n∈Z\)" ? Смотри это и это видео!

Готово.

Без арксинусов решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{1}{3}\) не получилось бы, потому что мы не смогли бы записать итоговый ответ. Аналогично и с уравнением \(\sin⁡x=0,125\), \(\sin⁡x=-\frac{1}{9}\), \(\sin⁡x=\frac{1}{\sqrt{3}}\) и многими другими. Фактически без арксинуса мы можем решать только 9 простейших, базовых, уравнений с синусом:

С арксинусом – бесконечное количество.

Алгоритм решения простейших уравнений с синусом

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси синусов значение, которому синус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Если синус равен не стандартному числу, то правую точку на круге можно отметить, как \(\arcsin⁡a\), а левую как \(π-\arcsin⁡a\).

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Пример: \(\sin⁡x=-\frac{\sqrt{2}}{4}\)

Или если воспользоваться свойством арксинуса \(\arcsin⁡(-a)=-\arcsin⁡a\):

Ответ: \( \left[ \begin{gathered} x=π+\arcsin⁡\frac{\sqrt{2}}{4}+2πn\\ x=-\arcsin⁡\frac{\sqrt{2}}{4}+2πn,  \,    n∈Z\end{gathered}\right.\)

Как делать не надо:

\(\sin⁡x=\frac{1}{2}\)

Ответ: \( \left[ \begin{gathered} x=\arcsin⁡\frac{1}{2}+2πn\\ x=π-\arcsin⁡\frac{1}{2}+2πn,  \,    n∈Z\end{gathered}\right.\)

Это стандартное уравнение - его можно решить с помощью круга, либо просто вычислить \(\arcsin⁡\frac{1}{2}= \frac{π}{6}\). В любом случае корректным ответом здесь будет:

\( \left[ \begin{gathered} x=⁡\frac{π}{6}+2πn\\ x=\frac{5π}{6}+2πn,  \,    \end{gathered}\right.\)   \(n∈Z\)

Запомните! В математике принято вычислять ответы до конца, поэтому если арксинус берется для стандартной точки и может быть посчитан – его надо вычислить. Потому что ответ с \(\arcsin⁡\frac{1}{2}\) и тому подобным будет выглядеть столь же странно, как ответ \(x=\frac{6}{3}\) в линейном уравнении \(3x=6\).

Больше примеров использования алгоритма читай в этой статье: простейшие уравнения с синусом и косинусом.

Косинус равен не стандартному значению

Предположим, надо решить уравнение \(\cos⁡x=\frac{1}{3}\). Как это сделать?

Тут логика такая же, как и в уравнении с синусом: косинус одной трети равняться может, следовательно, и значение должно быть таким, при котором косинус будет равен \(\frac{1}{3}\). Очевидное решение - использовать арккосинус.

Несложно заметить, что дуга от нуля до нижней точки имеет такую же длину, как и от нуля до верхней, но только она откладывается в отрицательном направлении (по часовой стрелке). Поэтому одно из значений второй точки: \(-\arccos⁡\frac{1}{3}\)

И теперь можно записать общий ответ: \(x=±\arccos⁡\frac{1}{3}+2πn\),     \(n∈Z\).

Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений.

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Если косинус равен не стандартному числу, то верхнюю точку на круге можно отметить, как \(\arccos⁡a\), а нижнюю как \(-\arccos⁡a\).

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\),   \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Пример: \(\cos⁡x=-\frac{8}{7}\).

Решение:

Важно быть начеку, а не штампованно везде писать аркфункции. Пересечения с окружность нет, значит и решений нет.
Ответ: нет решений.

Пример: \(\cos⁡x=-\frac{3}{4}\).

Или если применить формулу \(\arccos⁡(-a)=π-\arccos⁡a\)

Ответ: \(π±\arccos \frac{3}{4}+2πn\), \(n∈Z\).