Простейшие тригонометрические уравнения с косинусом и синусом. Часть 1

Ключ к решению простейших тригонометрических уравнений – в отличном знании тригонометрического круга. Если вы знаете значения стандартных точек и их синусы и косинусы, то проблем с уравнениями не будет. А если пробелы все-таки есть, то восполнить их можно в статье «Как запомнить тригонометрический круг?».

Эта статья состоит из двух частей:
Решение простейших уравнений с косинусом
Решение простейших уравнений с синусом

Алгоритм решения простейших уравнений с косинусом

Любой алгоритм проще всего понять на конкретных примерах, поэтому сразу с них и начнем.

Пример №1. Решить уравнение \(\cos⁡x=\frac{1}{2}\).

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси косинусов значение, которому косинус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 

Шаг 4. Найти по одному значению для каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с косинусом значения в верхней и нижней точках всегда будут отличаться только знаком.

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn,n∈Z\) (подробнее о формуле в этом видео), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Возможно, у вас возник вопрос, почему мы в ответ добавляем \(+2πn\), \(n∈Z\). Дело в том, что у каждой точки на тригонометрическом круге есть множество значений, и каждое значение будет решением уравнения, а значит все они обязательно должны быть в ответе.

Но проблема в том, что значений этих бесконечно много, и просто в строчку их не запишешь. Поэтому и придумали такую формулу записи, в которой содержатся все значения одной точки на тригонометрическом круге (подробнее смотрите в этом и этом видео).

Пример №2. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

С 1-3 шагом всё понятно, а вот над 4 шагом надо подумать. Как найти значения полученных точек? Можно заметить, что дуга между точкой со значением \(π\) и найденной точкой равняется π/6 (см. картинку ниже). И чтоб из точки π прийти к верхней найденной точке надо пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac{π}{6}\), то есть значение верхней точки равно \(π-\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}\). Значит значение нижней \(-\frac{5π}{6}\).

    

Пример №3. Решить уравнение \(\cos⁡x=1\).

Видно, что в этом случае у косинуса только одна точка на круге будет решением, и эта точка совпадает с нулём на окружности. Т.е. по формуле получим \(x=0+2πn\), \(n∈Z\). Однако добавление нуля ничего не меняет, поэтому ответ можно записать проще: \(x=2πn\), \(n∈Z\).

Пример №4. Решить уравнение \(\cos⁡x=-\frac{7}{6}\).

Значения косинуса (как и синуса) для любого аргумента всегда лежат между \(-1\) и \(1\) включительно, поэтому равняться \(-\frac{7}{6}\) косинус никак не может. Значит такое уравнение не имеет решений.

Вот так решаются простейшие тригонометрические уравнения вида \(\cos⁡x=a\). Для наглядности мы все рассказанное выше объединили на одной инфографике - взглянув на нее вы сразу вспомните суть. Пользуйтесь на здоровье.

Алгоритм решения простейших уравнений с синусом

Пример №5. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов.

Шаг 2. Отметить на оси синусов, значение, которому синус должен быть равен.

Шаг 3. Провести перпендикуляр и отметить точки пересечения перпендикуляра и круга. Если пересечений нет, то уравнение не имеет решений. 

Шаг 4. Найти по одному значению каждой из полученных точек на круге. Для уравнений с синусом значение второй точки можно найти, если вычесть из π значение первой точки.

Шаг 5. Записать все значения каждой точки используя формулу \(x=t_0+2πn\), \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз те значения точек, которые вы нашли в шаге 4.

Пример №6. Решить уравнение \(\sin⁡x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Так как суть, думаю, вам уже ясна, дальнейшие объяснения мы опускаем.

    

Пример №7. Решить уравнение \(\sin⁡x=0\).

В уравнениях с \(0\), главное не перепутать к какой оси надо проводить перпендикуляр. Ось синусов – вертикальная, соответственно перпендикуляр будет горизонтален.

   

Пример №8. Решить уравнение \(\sin⁡x=\frac{\sqrt{5}}{2}\).

Вот в принципе и всё. Как обычно, в конце – инфографика для наглядности.

Смотрите также:
Синус
Косинус
Решение уравнений \(tg\;x=a\) и \(ctg\;x=a\)
Тригонометрические уравнения