Решение уравнений sinx=a

решение простейших уравнений с синусом

7 вопросов по решению уравнений вида sin⁡x=a

  1. - Есть ли алгоритм решения уравнения \(\sin x=a\)?
  2. - Да, и он очень прост:
    • Постройте числовую окружность и оси;
    • Отметьте на оси синусов число \(a\);
    • Проведите перпендикуляр и найдите одно из значений каждой точки, в которых перпендикуляр пересекается с окружностью. Обычно это два числа в сумме, дающие \(π\) или \(-π\).
    • Запишите ответ в виде \( \left[ \begin{gathered}x=(одно \: из \: чисел)+2πn, n∈Z\\ x=(второе \: число)+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\) 

  3. - Где 1 на оси синусов?
    - Радиус тригонометрического круга равен \(1\), поэтому \(1\) на оси синусов и \(\frac{π}{2}\) на круге совпадают. Кстати, \(-1\) на оси синусов и \(-\frac{π}{2}\) на круге тоже совпадают.

  4. – Если \(a\) больше \(1\) и меньше \(-1\), то перпендикуляр не пересекает числовую окружность, тогда как решать уравнение?
    - Синус не может быть больше \(1\) и меньше \(-1\). Поэтому нету иксов, при которых синус равен \(\frac{6}{5}\) или \(1000\) или \(-1,3\). В этом случае в ответ пишем: «решений нет». 

  5. - Как узнать значение точки пересечения окружности и перпендикуляра?
    - Лучше всего хорошенько разобраться в тригонометрическом круге – его легко воспроизвести на экзаменах. Также можно использовать таблицу значений тригонометрических функций, но её на ЕГЭ не раздают. 

  6. – А если \(a\) не табличное значение?
    - В этом случае мы используем арксинус. Арксинус - тоже число, но не привычное. Если по-простому, то \(\arcsin⁡(a)\) – это такое число, синус которого равен a. Например, \(\arcsin⁡(\frac{1}{5})\) это число, синус которого равен \(\frac{1}{5}\). Иными словами, \(\sin(\arcsin⁡(\frac{1}{5}) )=\frac{1}{5}\).
    Таким образом, ответ будет выглядеть так: \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin a+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin a+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
    Арксинус можно вычислить только для \(a∈[-1;1]\). Никаких \(\arcsin⁡(\frac{6}{5}\)) или \(\arcsin⁡(- 3)\)! 

  7. - Зачем нужно \(+2πn\), \(nϵZ\)?
    - Уравнение считается решенным только если найдены все его корни. Если же не записать хотя бы один – уравнение будет решено неверно. Корнями уравнения \(\sin ⁡x=a\) будут все значения точек пересечения перпендикуляра и окружности. А так как по окружности можно совершить бесконечно много оборотов длиной \(2π\) каждый (см. ниже), то и точек пересечения будет бесконечно много. И чтобы записать именно все значения точки - к одному из её чисел добавляют \(+2πn\), \(nϵZ\). 

  8. - Почему именно \(2πn\), а не \(3πk\), \(707l\) и т.д.?
    - Потому что длина окружности равна именно \(2π\). При этом \(n\) является целым числом, (ведь \(n∈Z\), а буквой \(Z\) обозначают множество всех целых чисел). Таким образом, мы при каждом \(n\) мы будем совершать некоторое число полных оборотов, оказываясь в той же точке. А значит запись \(+2πn\), \(nϵZ\) позволяет забрать все нужные нам значения.
    Кстати, вместо \(n\) можно писать любую букву: \(k\),\(m\),\(l\) – это не принципиально, важно лишь добавить в конце \(kϵZ\), \(mϵZ\) и т.д. Более подробно о записи корней тригонометрического уравнения можете узнать здесь.

Смотрите также:
Синус
Решение уравнений \(cos\;x=a\)
Решение уравнений \(tg\;x=a\) и \(ctg\;x=a\)

Тригонометрические уравнения

Хочу задать вопрос

*