Простейшие тригонометрические уравнения с тангенсом и котангенсом

Чтобы уверенно решать простейшие уравнения с тангенсом или котангенсом нужно знать значения стандартных точек на круге и стандартные значения на осях тангенсов и котангенсов (если в этом материале есть пробелы, читайте «Как запомнить тригонометрический круг»).

Эта статья состоит из двух частей:
Решение простейших уравнений с тангенсом
Решение простейших уравнений с котангенсом

Алгоритм решения простейших уравнений с тангенсом

Давайте с вами рассмотрим типичное уравнение, например, \(tg⁡x=\sqrt{3}\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=\sqrt{3}\).

Чего от нас здесь хотят? Чтобы мы написали все такие значения угла в Пи, для которых тангенс равен корню из трех. Причем написать надо именно все такие углы. Давайте нарисуем тригонометрический круг и ось тангенсов…

…и обозначим то место на оси, куда мы должны попасть в итоге.

Теперь найдем через какие точки на окружности мы должны идти, чтобы попасть в этот самый корень из трех –проведем прямую через начало координат и найденную точку на оси тангенсов.

Точки найдены. Давайте подпишем значение одной из них…

…и запишем окончательный ответ – все возможные варианты значений в Пи, находящиеся в отмеченных точках: \(x=\frac{π}{3}+πn\),    \(n∈Z\).

Задача решена.

Замечание. Вы, наверно, обратили внимание, что в отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь записывается только одна серия корней, причем в формуле добавляется \(πn\), а не \(2πn\). Дело в том, что в любом уравнении с тангенсом решением получаются две точки на окружности, которые находятся друг от друга на расстоянии \(π\). Благодаря этому значение обеих точек можно записать одной формулой в виде \(x=t_0+πn\),    \(n∈Z\).

Пример. Решить уравнение \(tg⁡x=-1\).

Итак, окончательный алгоритм решения подобных задач выглядит следующим образом:

Шаг 1. Построить окружность, оси синусов и косинусов, а также ось тангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси тангенсов значение, которому тангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить прямой линией центр окружности и отмеченную точку на оси тангенсов.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\),  \(n∈Z\) (подробнее о формуле в видео), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4.

Специально для вас мы сделали удобную табличку со всеми шагами алгоритма и разными примерами к нему. Пользуйтесь на здоровье! Можете даже распечатать и повесить на стенку, чтоб больше никогда не ошибаться в этих уравнениях.

Алгоритм решения простейших уравнений с котангенсом

Сразу скажу, что алгоритм решения уравнений с котангенсом почти такой же, как и с тангенсом.

Пример. Решить уравнение \(ctg⁡x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Шаг 1. Вопрос у нас практически тот же – из каких точек круга можно попасть в \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) на оси котангенсов?
Строим круг, проводим нужные оси.

Теперь отмечаем на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен…

…и соединяем центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

По сути точки найдены. Осталось записать их все. Вновь определяем значение в одной из них…

…и записываем окончательный ответ по формуле \(x=t_0+πn\), \(n∈Z\), потому что у котангенса период такой же как у тангенса: \(πn\).

Кстати, вы обратили внимание, что ответы в задачах совпали? Здесь нет ошибки, ведь для любой точки круга, тангенс которой равен \(\sqrt{3}\), котангенс будет \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Разберем еще пример, а потом подведем итог.

Пример. Решить уравнение \(ctg⁡x=-1\). Здесь подробно расписывать не буду, так как логика полностью аналогична вышеизложенной.

Итак, алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений с котангенсом:

Шаг 1. Построить окружность и оси синусов и косинусов, а также ось котангенсов.

Шаг 2. Отметить на оси котангенсов значение, которому котангенс должен быть равен.

Шаг 3. Соединить центр окружности и точку на оси котангенсов прямой линией.

Шаг 4. Найти значение одной из точек на круге.

Шаг 5. Записать ответ используя формулу \(x=t_0+πn\),  \(n∈Z\), где \(t_0\) – как раз то значение, которые вы нашли в шаге 4. И табличка в награду всем дочитавшим до этого места.

Примечание. Возможно, вы обратили внимание, что при решении примеров 2 и 3 в обеих табличках мы использовали функции \(arctg\) и \(arcctg\). Если вы не знаете, что это – читайте эту статью.