Решение уравнений tgx=a и ctgx=a

решение простейших уравнений с тангенсом

решение простейших уравнений с котангенсом

6 вопросов по решению уравнений вида tgx=a и ctgx=a

  1. - Есть ли алгоритм решения уравнения \(tgx=a\), \(ctgx=a\)?
  2. - Да, и он очень прост:
    • Постройте числовую окружность, оси синуса, косинуса. В зависимости от уравнения постройте ось тангенса или котангенса;
    • Отметьте на оси тангенса или котангенса число \(a\);
    • Соедините точку \(a\) и центр окружности прямой. Продлите её до второго пересечения с окружностью. Найдите значение одной из получившихся точки.
    • Запишите ответ в виде \(x=(значение \:\: точки)+πn;\)     \(n∈Z.\) 

  3. - Непонятно, где на оси тангенсов и котангенсов 0 и 1.
    - Ноль на оси тангенса совпадает с нулем на тригонометрическом круге. Единица находится от нуля на расстоянии равной радиусу круга, на том же уровне на котором находится \(1\) на оси синусов.
    На оси котангенса \(0\) совпадает с \(\frac{π}{2}\) на тригонометрическом круге. \(1\) на оси котангенсов совпадает с \(1\) на оси тангенсов.
    Чтобы это не учить поймите, что ось тангенсов – это скопированная и передвинутая ось синусов, а ось котангенсов скопированная и передвинутая ось косинусов.

  4. – Может ли тангенс или котангенс быть больше \(1\) и меньше \(-1\)?
    - Да, тангенс и котангенс могут равняться любому числу.

  5. - Как узнать значение точки пересечения окружности и прямой?
    - Лучше всего хорошенько разобраться в тригонометрическом круге – его легко воспроизвести на экзаменах. Также можно использовать таблицу значений тригонометрических функций, но её на ЕГЭ не раздают. 

  6. – А если \(a\) не табличное значение?
    - В этом случае мы используем арктангенс и арккотангенс. Это тоже числа, но не привычные. Если по-простому, то \(arctg⁡(a)\) – это такое число, тангенс которого равен \(a\). Например, \(arctg⁡(\frac{1}{5})\) это число, тангенс которого равен \(\frac{1}{5}\), поэтому \(tg⁡(arctg⁡(\frac{1}{5}) )=\frac{1}{5}\).
    Аналогично \(arcсtg⁡(a)\) – это число котангенс, которого равен \(a\). Например, \(arcсtg⁡(3)\) это число котангенс, которого равен \(3\), поэтому \(ctg⁡(arcсtg⁡(3) )=3\).

  7. - Почему \(πn\), а не \(2πn\), как в случае косинуса и синуса?
    - Дело в том, что в отличие от уравнения с косинусом и синусом корни уравнения \(tgx=a\) и \(ctg x=a\) располагаются друг от друга ровно на расстоянии \(π\). Вместо того чтобы писать \( \left[ \begin{gathered}x=(значение \: точки)+2πn, n∈Z\\ x=(π+значение \: точки)+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)


  8. Смотрите также:
    Тангенс
    Котангенс
    Решение уравнений \(\cos\;x=a\)
    Решение уравнений \(\sin\;x=a\)

Хочу задать вопрос

*