Как запомнить тригонометрический круг?

Лучший способ запомнить новую информацию в математике – это понять логику. Поэтому в этой статье я расскажу вам логику тригонометрического круга.

На нем есть \(16\) стандартных точек. В них можно отметить числа с пи, можно градусы (имеется в виду градусные меры углов).

  

На круге каждой точке соответствует бесконечное множество чисел и градусов, поэтому запомнить их все невозможно. Гораздо лучше понять как расположены числа и градусы (для этого вы можете прочесть статьи здесь и здесь).

Дальше я сосредоточусь на том, как запомнить расположение чисел на осях синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Как запомнить какой точке какой синус и косинус соответствует?

Шаг 1. Прежде всего, вспомните, что обычно горизонтальную ось называют осью косинусов, а вертикальную - осью синусов, так как:

Поэтому положительные значения косинусов и синусов расположены там же, где соответственно «иксы» и «игреки» положительны. Аналогично с отрицательными (на картинке ниже: оранжевые – плюс, синие – минус).

Шаг 2. Вспомните, что радиус тригонометрического круга равен \(1\), а это значит, что единицы и минус единицы на осях будут там, где круг пересечет оси.

Поэтому:  \(\cos0=1\) и \(\sin0=0\);
                   \(\cos⁡\frac{π}{2}=0\) и \(\sin⁡\frac{π}{2}=1\);
                   \(\cos⁡{π}=-1\) и \(\sin{⁡π}=0\);
                   \(\cos⁡\frac{3π}{2}=0\) и \(\sin⁡\frac{3π}{2}=-1\).

Шаг 3. Запомните, что координаты остальных точек могут быть только \(±\frac{1}{2}\), \(±\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(±\frac{\sqrt{3}}{2}\). Причем \(\frac{1}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{\sqrt{3}}{2}\) и соответственно \(-\frac{\sqrt{3}}{2}<-\frac{\sqrt{2}}{2}<-\frac{1}{2}\) (в этом можно убедиться, вычислив данные числа на калькуляторе).

Шаг 4. Правильно расставьте эти числа на осях:
Координата точки \(\frac{π}{6}\) (\(30^°\)) на оси косинусов будет \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) – так как она максимально близка к \(1\);
Координата точки \(\frac{π}{3}\) (\(60^°\) ) на оси косинусов будет \(\frac{1}{2}\) – так как ближе к нулю;
Ну и соответственно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) посередине, то есть \(\cos\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Аналогично рассуждаем, расставляя числа на оси синусов.
\(\sin⁡\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) – так как координата \(\frac{π}{3}\) наиболее близка к \(1\),
\(\sin{\frac{π}{6}}=\frac{1}{2}\), потому что координата \(\frac{π}{6}\) находится ниже, чем две другие точки.
\(\sin⁡\frac{π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) – так как \(\frac{π}{4}\) - посередине.

Уже очевидно, что \(\sin⁡\frac{2π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\),     \(\sin⁡\frac{3π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\),     \(\sin⁡\frac{5π}{6}=\frac{1}{2}\).
Осталось найти косинусы. Они все будут отрицательны, потому что по оси абсцисс эти точки находятся слева от \(0\). Значит,
\(\cos⁡\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}\) – точка \(\frac{2π}{3}\) наиболее близка к \(0\) на оси косинусов;
\(\cos⁡\frac{5π}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) – так как точка \(\frac{5π}{6}\) наиболее близка к \(-1\),
\(\cos⁡\frac{3π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\), потому что \(\frac{3π}{4}\) посередине.
Применяя туже логику, расставляем числа на оси синусов.

Получается, что:
\(\cos⁡\frac{4π}{3}=-\frac{1}{2}\),     \(\sin⁡\frac{4π}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos⁡\frac{7π}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\),   \(\sin⁡\frac{7π}{6}=-\frac{1}{2}\),
\(\cos⁡\frac{5π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),   \(\sin⁡\frac{5π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),
\(\cos⁡\frac{5π}{3}=\frac{1}{2}\),         \(\sin⁡\frac{5π}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\),
\(\cos⁡\frac{7π}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\),       \(\sin⁡\frac{7π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\),  
\(\cos⁡\frac{11π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\),     \(\sin⁡\frac{11π}{6}=-\frac{1}{2}\).

К счастью, аккуратно рисовать круг, каждый раз подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно понимать логику и применять её к каждому значению отдельно.

Пример. Найдите а) \(\cos⁡\frac{3π}{4}\), б) \(\cos⁡(-\frac{π}{6})\).
Решение:\(\frac{5π}{4}=\frac{4π+π}{4}=π+\frac{π}{4}\)

\(\sin⁡\frac{5π}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos⁡(-\frac{π}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Как запомнить расположение чисел на оси тангенсов и котангенсов?

Шаг 1. Запомните, что \(0\) на оси тангенсов совпадает с нулем на окружности, а \(0\) на оси котангенсов - с \(\frac{π}{2}\)  (\(90^°\)) на окружности.

Шаг 2. Проводим прямые через точки и начало координат (почему так – смотри здесь) и убеждаемся, что на каждой оси у нас должно быть по семь чисел, одно из которых (ноль) – уже есть.

Шаг 3. Так как ось котангенсов — это скопированная ось косинусов сдвинутая на 1 вверх, то и положительные отрицательные части осей там же где и на оси косинусов. Аналогично с осью тангенсов и синусов.

Шаг 4. Значение «\(1\)» на оси тангенсов и котангенсов находятся на одном уровне с единицей на оси косинусов и синусов. Аналогично, \(-1\) находятся на одном уровне с \(-1\) на оси синусов и косинусов.

Шаг 5. Дальше стоит понять, что \(±\frac{1}{\sqrt{3}}\)  находится ближе к \(0\), чем \(±\sqrt{3}\).

Шаг 6. \(±\sqrt{3}\) – это самые крайние точки, которые мы ставим на осях.

Опять же, подписывать все значения на тригонометрическом круге, и расставлять все числа на осях ни к чему. Достаточно нанести лишь те значения, которые надо найти.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(36\sqrt{6}\, tg\,\frac{π}{6} sin⁡\,\frac{π}{4}\).
Решение:

\(36\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{36\sqrt{6}\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{4}}{1}=18\cdot2=36\).

Ответ: \(36\).