Как найти тангенс и котангенс без тригонометрической таблицы?

В статье мы рассмотрим, как найти значения:

\(tg\, \frac{π}{3}\),       \(ctg\, (-\frac{7π}{3})\),     \(tg \,0\),     \(ctg\, \frac{5π}{6}⁡\)

и других тангенсов и котангенсов без тригонометрической таблицы.

Есть два способа вычислять тангенсы и котангенсы. Первый - через синусы и косинусы, второй - через оси тангенсов и котангенсов. Первый способ проще в освоении, второй - быстрее в применении.

Но в любом случае вам нужно уметь уверенно расставлять числа с пи на тригонометрическом круге и откладывать углы.

Способ 1 – вычисление тангенсов и котангенсов через синусы и косинусы

Конечно, этот способ подразумевает, что вы уже умеете вычислять синус и косинус. Не умеете? Тогда бегом читать эту статью, и эту тоже.

Уже умеете? Тогда ловите два определения:

Пример. Вычислите \(tg\, \frac{π}{3}\) и \(ctg\, \frac{π}{3}\).
Решение:

Ищем сначала \(\frac{π}{3}\), а после вычисляем \(sin\,⁡\frac{π}{3}\) и \(cos⁡\,\frac{π}{3}\).

\(sin⁡\, \frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\);      \(cos⁡\, \frac{π}{3}=\frac{1}{2}\);
\(tg \, \frac{π}{3}=\) \(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\)\(=\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}\).
\(ctg\,\frac{π}{3}=\)\(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)\(=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Пример. Вычислите \(tg\, \frac{5π}{6}\) и \(ctg\, \frac{5π}{6}\).
Решение:

Найдем сначала \(\frac{5π}{6}\) на круге: \(\frac{5π}{6}=\frac{6π}{6}-\frac{π}{6}=π-\frac{π}{6}\).

\(ctg\, \frac{5π}{6}=\)\(\frac{cos⁡ \frac{5π}{6}}{sin⁡\frac{5π}{6}}\)\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}\);
\(tg\,\frac{5π}{6}=\)\(\frac{sin⁡\frac{5π}{6}}{cos⁡\frac{5π}{6}}\)\(=\frac{1}{2}:(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{2}{\sqrt{3}})=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Пример. Вычислите \(tg\, 0\) и \(ctg\, 0\).
Решение:

\(0\) на тригонометрическом круге совпадает с \(1\) на оси косинусов, значит \(cos⁡\,0=1\).
Если из точки \(0\) на тригонометрическом круге провести перпендикуляр (красная пунктирная линия) к оси синусов, то мы попадем в \(0\), получается \(sin\,⁡0=0\). Следовательно: \(tg\, 0=\)\(\frac{sin\,⁡0}{cos⁡\,0}\) \(=\frac{0}{1}=0\).

С котангенсом интереснее: \(ctg\, 0=\)\(\frac{cos\,⁡0}{sin⁡\,0}\) \(=\frac{1}{0}=???\). На ноль делить нельзя – это железное правило математики. Поэтому и посчитать такой котангенс не получится. \(ctg\,⁡0\) - не вычислим в принципе.

Пример. Вычислите \(tg\,120^°\) и \(ctg\, 120^°\).
Решение:

\(ctg\,120^°=\)\(\frac{cos⁡\,120^°}{sin\,120^°}\)\(=-\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\);
\(tg\,120^°=\)\(\frac{sin⁡\,120^° }{cos⁡\,120^°}\)\(=\frac{\sqrt{3}}{2}:(-\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-\frac{2}{1})=-\sqrt{3}\).

Способ 2 – вычисление тангенсов и котангенсов с использованием осей

Ось тангенсов – сдвинутая копия оси синусов, ось котангенсов – копия оси косинусов. Единицы на осях котангенсов и тангенсов совпадают.

О том, как просто запомнить где какое значение стоит на осях, можно прочитать в статье «Как запомнить тригонометрический круг».

Пример. Вычислите \(tg\, \frac{π}{4}\) и \(ctg\, \frac{π}{4}\).
Решение:

1) Строим круг, оси и отмечаем аргумент на окружности;

2) Соединяем точку, соответствующую аргументу, и начало координат;

3) Продляем до осей;

И на оси тангенсов, и на оси котангенсов мы пришли в единицу, поэтому \(tg\, \frac{π}{4}=1\) и \(ctg\, \frac{π}{4}=1\).

Пример. Вычислите \(tg\, \frac{2π}{3}\) и \(ctg\, \frac{2π}{3}\).
Решение: \(\frac{2π}{3}=\frac{3π}{3}-\frac{π}{3}=π-\frac{π}{3}\)

  

\(ctg \,\frac{2π}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\);     \(tg\,\frac{2π}{3}=-\sqrt{3}\).

Пример. Найдите значения выражений \(tg\,(-30^°)\) и \(ctg\,(-30^°)\).
Решение:

  

Понятно, что во время ЕГЭ такой красивой картинки не будет, но она и не нужна. Если вы будете знать, как правильно расставлять значения на тригонометрическом круге и будете помнить расположение чисел на осях, то вам будет достаточно нарисованного от руки круга.

Пример (ЕГЭ). Найдите значение выражения \(2\sqrt{3} tg\,(-300^°)\).
Решение: \(-300^°=-360^°+60^°\).

\(2\sqrt{3}tg(-300^° )=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=2\cdot 3=6\).
Ответ: \(6\).

Смотрите также:
Как найти синус и косинус без тригонометрической таблицы? 
Из градусов в радианы и наборот
Тригонометрическая таблица с кругом
Почему в тригонометрической таблице такие числа?

Для тех кто хочет закрепить знания:
Задание на вычисление синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов