Котангенс

Примеры:

\(ctg⁡\:30^° =\sqrt{3}\)
\(ctg⁡\:(\frac{π}{3})=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(ctg\:⁡2=-0,487…\)

Содержание:

• Аргумент и значение
• Котангенс острого угла
• Котангенс числа или любого угла
• Знаки по четвертям
• Связь с другими функциями

Аргумент и значение

Аргументом может быть:
- как число или выражение с Пи: \(1,3\), \(\frac{π}{4}\), \(π\), \(-\frac{π}{3}\) и т.п.
- так и угол в градусах: \(45^°\), \(360^°\),\(-800^°\), \(1^° \) и т.п.

Для обоих случаев значение котангенса вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).

Значение котангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): \(1\), \(\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(-0,1543…\)

Котангенс острого угла

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить \(ctgA\).

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить \(ctg\;A\).

Вычисление котангенса числа или любого угла

Пример. Вычислите \(ctg\: \frac{5π}{6}\).
Решение: Найдем сначала \(\frac{5π}{6}\) на круге. Затем найдем \(cos\:⁡\frac{5π}{6}\) и \(sin\:\frac{5π}{6}\), а потом поделим одно на другое.

\(ctg\:\frac{5π}{6}=\)\(\frac{cos⁡\:\frac{5π}{6}}{sin⁡\:\frac{5π}{6}}\)\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}\)

Ответ: \(-\sqrt{3}\).

Пример. Вычислите \(ctg\:\frac{π}{2}\).

Решение: Чтобы найти котангенс пи на \(2\) нужно найти сначала косинус и синус \(\frac{π}{2}\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:

Точка \(\frac{π}{2}\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси синусов, значит \(sin\:\frac{π}{2}=1\). Если из точки \(\frac{π}{2}\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси косинусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(cos\:⁡\frac{π}{2}=0\). Получается: \(ctg\:\frac{π}{2}=\)\(\frac{cos\:⁡\frac{π}{2}}{sin\:⁡\frac{π}{2}}\)\(=\)\(\frac{0}{1}\)\(=0\).

Ответ: \(0\).

Пример. Вычислите \(ctg\:(-765^\circ)\).
Решение:   \(ctg\: (-765^\circ)=\)\(\frac{cos\:(-⁡765^\circ)}{sin\:⁡(-765^\circ)}\)
Что бы вычислить синус и косинус \(-765^°\). Отложим \(-765^°\) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на \(720^°\) , а потом еще на \(45^°\).

\(sin⁡(-765^°)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(cos⁡(-765^°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ;
получается \(ctg(-765^°)= \frac{\sqrt{2}}{2} ∶ -\frac{\sqrt{2}}{2}=-1\).

Ответ: \(-1\).

Пример. Найдите \(ctg\:\frac{π}{3}\).
Решение:   \(ctg\: \frac{π}{3}=\)\(\frac{cos\:⁡\frac{π}{3}}{sin\:⁡\frac{π}{3}}\). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
\(sin⁡(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(cos⁡(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\) ;
получается \(ctg(\frac{π}{3})=\frac{1}{2} ∶ \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Однако можно определять значение котангенса и напрямую через тригонометрический круг - для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Ось котангенсов – это фактически копия оси косинусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси косинусов.

Пример. Вычислите \(ctg\:\frac{π}{4}\).
Решение:   
1) Отмечаем \(\frac{π}{4}\) на окружности.

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).

Ответ: \(1\).

Пример. Найдите значение \(ctg\: 30°\) и \(ctg\: (-60°)\).
Решение:   
Для угла \(30°\) (\(∠COA\)) котангенс будет равен \(\sqrt{3}\) (приблизительно \(1,73\)), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось котангесов.
\(ctg\;(-60°)=\frac{\sqrt{3}}{{3}}\) (примерно \(-0,58\)).

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.

При этом котангенс не определен для:
1) всех точек \(C\) (значение в Пи: …\(0\), \(2π\), \(4π\), \(-2π\), \(-4π\) …; и значение в градусах: …\(0°\),\(360°\), \(720°\),\(-360°\),\(-720°\)…)
2) всех точек \(D\) (значение в Пи: …\(π\), \(3π\), \(5π\), \(-π\), \(-3π\), \(-5π\) …; и значение в градусах: …\(180°\),\(540°\),\(900°\),\(-180°\),\(-540°\),\(-900°\)…) .

Так происходит потому, что в этих точках синус равен нулю. А значит, вычисляя значение котангенса мы придем к делению на ноль, что запрещено. И прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось котангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках котангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений он может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с котангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.

Знаки по четвертям

С помощью оси котангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак котангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение котангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

Связь с другими тригонометрическими функциями:

- синусом того же угла: формулой \(1+ctg^2⁡x=\)\(\frac{1}{sin^2⁡x}\) 

- косинусом и синусом того же угла: \(ctg⁡\:x=\)\(\frac{cos\:⁡x}{sin⁡\:x}\) 

- тангенсом того же угла: формулой \(tg⁡\:x=\)\(\frac{1}{ctg\:x}\) 
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.

Смотрите также:
Формулы приведения
Решение уравнений \(tgx=a\) и \(ctgx=a\)