Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\), \(\frac{3\pi}{2}-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» - это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Функция:                Кофункция:
\(sin⁡\) \(a\)          \(→\)            \(cos⁡\) \(a\)
\(cos⁡\) \(a\)          \(→\)             \(sin⁡\) \(a\)
\(tg⁡\) \(a\)            \(→\)            \(ctg\) \(a\)
\(ctg⁡\) \(a\)          \(→\)             \(tg\) \(a\)

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс, он либо останется синусом, либо превратиться в косинус. А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее. 

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
- как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
- как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac{3\pi}{2}-a) =....\) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac{\pi}{2}\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac{3\pi}{2}-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac{3\pi}{2}\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac{3\pi}{2}-a)=-...\)

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

То есть, при аргументах исходной функции \(\frac{\pi}{2}+a\), \(\frac{\pi}{2}-a\), \(\frac{3\pi}{2}+a\) или \(\frac{\pi}{2}-a\), мы должны поменять функцию, а при аргументах \(π+a\), \(π-a\), \(2π+a\) или \(2π-a\) - нет. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие \(\frac{\pi}{2}\) \((90^°)\) и \(\frac{3\pi}{2}\) \((270^°)\), расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да».

Точки же, обозначающие \(π\) (\(180^°\)) и \(2π\) (\(360^°\)), расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет».

Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше \(\cos⁡(\frac{3π}{2}-a)=...\) косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем, \(\cos⁡(\frac{3π}{2}-a)=-\sin⁡\) \(a\). Это и есть верная формула приведения.

Примеры с формулами приведения:

Зачем нужны формулы привидения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\frac{18 \cos {⁡{41}^°} }{\sin⁡ {{49}^°}}\)

Ответ:  \(18\)

Пример. Найдите значение выражения \(\frac{3 \sin{⁡(\pi-a)}-\cos(\frac{\pi}{2}+a) }{\cos⁡ {(\frac{3\pi}{2}-a)}}\)

Ответ:  \(-4\)

Пример. Вычислить чему равен \(ctg(-a-\frac{7π}{2})\), если \(tg\) \(⁡a=2\)

Решение:

Ответ:  \(2\)

Еще раз проговорим этот важный момент: с точки зрения формулы приведения \(\frac{7π}{2}\) - это тоже самое, что и \(\frac{3π}{2}\). Почему? Потому что \(\frac{7π}{2}=\frac{3π+4π}{2}=\frac{3π}{2}+\frac{4π}{2}=\frac{3π}{2}+2π\). Иными словами, они отличаются ровно на один оборот \(2π\). А на значения тригонометрических функций количество оборотов никак не влияет:

\(cos\) \(⁡t=cos ⁡(t+2π)=cos ⁡(t+4π)=cos ⁡(t+6π)= ...=cos⁡ (t-2π)=cos ⁡(t-4π)=cos⁡ (t-6π)…\)
\(sin\) \(t=sin⁡ (t+2π)=sin ⁡(t+4π)=sin ⁡(t+6π)= ...=sin⁡ (t-2π)=sin ⁡(t-4π)=sin ⁡(t-6π)…\)

Аналогично с тангенсом и котангенсом (только у них «оборот» равен \(π\)).
\(tg\) \(t=tg⁡(t+π)=tg⁡(t+2π)=tg⁡(t+3π)= ...=tg⁡(t-π)=tg⁡(t-2π)=tg⁡(t-3π)…\)
\(ctg\) \(t=ctg⁡(t+π)=ctg⁡(t+2π)=ctg⁡(t+3π)= ...=ctg⁡(t-π)=ctg⁡(t-2π)=ctg⁡(t-3π)…\)

Таким образом, \(-ctg(\frac{7π}{2}+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+2π+a)=- ctg(\frac{3π}{2}+a)\).

То есть, для определения знака и необходимости смены функции важно лишь местоположение «точки привязки», а не её значение, поэтому так расписывать не обязательно (но можно если вы хотите впечатлить своими знаниями учительницу).

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Есть ли формулы приведения с аргументами \((\frac{π}{3}-a)\),\((\frac{π}{4}+a)\),\((\frac{7π}{6}+a)\) или тому подобное?
Ответ: К сожалению, нет. В таких ситуациях выгодно использовать формулы разности и суммы аргументов. Например, \(cos⁡(\frac{π}{3}-a)=cos⁡\frac{π}{3} cos⁡a+sin⁡\frac{π}{3} sin⁡a=\frac{1}{2}cos⁡a+\frac{\sqrt{3}}{2} sin⁡a\).

Смотрите также Как доказать тригонометрическое тождество?