Четверть числовой окружности

Если посмотреть на числовую окружность, то можно заметить, что оси абсцисс и ординат разбивают ее на четыре части. Эти части называют четвертями и нумеруют в том порядке как их проходят, двигаясь в положительном направлении (против часовой стрелки).


\((\)\(\frac{π}{2}\)\(;π)\)- вторая четверть


обозначение четвертей на числовой окружности

\((0;\)\(\frac{π}{2}\)\()\) - первая четверть

 

 

\((π;\)\(\frac{3π}{2}\)\()\) - третья четверть

\((\)\(\frac{3π}{2}\)\(;2π)\) - четвертая четверть




Почему так важно определять какой четверти принадлежит угол?

Дело в том, что каждая четверть уникальна в плане знаков тригонометрических функций.

Например, для любого угла из второй четверти - синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны. А для любого угла из первой четверти - все четыре функции будут положительны.

знаки тригонометрических функций по четвертям

Теперь давайте рассмотрим пример задачи, которую не решить без использования знаний про четверти.

Пример (ЕГЭ):

Найдите \(\sin⁡a\), если \(\cos⁡a=-0,6\) и \(π<a<\)\(\frac{3π}{2}\)

                              

Нам известен косинус, а найти нужно синус того же угла. Какая тригонометрическая формула связывает синус и косинус того же угла? 
Основное тригонометрическое тождество. Запишем его.

\(\sin^2⁡a+\cos^2⁡a=1\)

 

Подставим известное, и проведем вычисления.

\(\sin^2⁡a+(-0,6)^2=1\)
\(\sin^2⁡a+0,36=1\)
\(\sin^2⁡a=0,64\)

 

\(\sin⁡a=0,8\)   или   \(\sin⁡a=-0,8\)







 

У нас два ответа, и оба нам подходят. Но у угла не может быть два синуса! Один лишний! А какой?
Вот тут нам и поможет знание о четвертях: обратите внимание, что у нас в условии есть двойное неравенство  \(π<a<\) \(\frac{3π}{2}\), то есть угол \(a\) такой, что больше \(π\), но меньше \(\frac{3π}{2}\).
Значит он лежит в третьей четверти. А в третьей четверти синус отрицателен. Поэтому верный ответ: \(-0,8\).

Ответ: \(\sin⁡a=-0,8\).




Про непостоянство четвертей:

Важно понимать, что, например, первой четверти принадлежат не только углы от \(0\) до \(\frac{π}{2}\), но и углы от \(2π\) до \(\frac{5π}{2}\), и от \(4π\) до \(\frac{9π}{2}\), и от \(6π\) до \(\frac{13π}{2}\) и так далее. Ведь как только мы заканчиваем полный оборот – кончается четвертая четверть и опять начинается первая.

Кроме того, нужно помнить, что углы могут откладываться в отрицательную сторону (по часовой стрелке), и тогда мы попадем в первую четверть только в конце круга. Ведь сначала мы пройдем четвертую четверть, потом в третью и т.д.

\((-π;-\)\(\frac{3π}{2}\)\()\)- вторая четверть


разные обозначения четвертей          

\((-\)\(\frac{3π}{2}\)\(;-2π)\) - первая четверть

 

 

\((-\)\(\frac{π}{2}\)\(;-π)\) - третья четверть

\((0;-\)\(\frac{π}{2}\)\()\) - четвертая четверть

Ну и, конечно, мы можем в отрицательную сторону делать обороты, так же как и в положительную.



Смотрите также:
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом
Как обозначать точки на числовой окружности


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*