Двойные неравенства. 2 способа решения

Математический словарь
Двойные неравенства. 2 способа решения

Двойные неравенства – неравенства, в записи которых используется два знака сравнения.

Например:

\(5<11<17\)
\(-2\leq3x+5\leq2\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\)

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому их всегда можно представить в виде системы.

Например:

\(-2\leq3x+5\leq2\Leftrightarrow\begin{cases}-2\leq3x+5\\3x+5\leq2\end{cases}\)
\(2x-5\leq3x+7\leq8x\Leftrightarrow\begin{cases}2x-5\leq3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Но делать это нужно не всегда.

2 способа решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду \([число]\)\(<\)\(x\)\(<\)\([число]\).

Пример: Решите двойное неравенство:

\(-2\leq3x+5\leq2\) \(\|-5\)		Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям - числа. Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем \(5\) из всего неравенства.
\(-7≤3x≤-3\) \(\|:3\)		Теперь нам мешает \(3\). Поделим все три части неравенства на \(3\).
\(-\)\(\frac{7}{3}\)\(\leq x \leq-1\)		Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

Ответ: \([-\)\(\frac{7}{3}\)\(;-1]\)

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

\(2x-5<3x+7≤8x\)	В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.
\(\begin{cases}2x-5<3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)	Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов - в правую.
\(\begin{cases}2x-3x<7+5\\3x-8x\leq-7\end{cases}\)	Приводим подобные слагаемые
\(\begin{cases}-x<12 \\-5x\leq-7 \end{cases}\)	«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на \((-1)\), нижнее на \((-5)\). Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.
\(\begin{cases}x>-12 \\x\geq \frac{7}{5}\end{cases}\)	Отметим на числовой оси оба решения
	Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.