Системы линейных неравенств. Решение систем линейных неравенств

Системой линейных неравенств – называют несколько линейных неравенств, которые должны выполняться одновременно

Например:

\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases} \begin{cases}2x-5\geq11\\3+x>7\end{cases} \begin{cases}2x\leq19\\3x<14\\5x>-1\end{cases}

Примеры не систем линейных неравенств:
\(\begin{cases}3>4\\x\leq7\end{cases}\) – первое неравенство не линейное, а числовое
\(\begin{cases}2x^{2}-5\geq11\\3+\frac{1}{x}>7\end{cases}\) – первое неравенство квадратное, второе дробно-рациональное, т.е. оба не линейные
\(\left[ \begin{gathered} 2x\leq19 \\ 3x<14\\ 5x>-1\\ \end{gathered} \right.\)  

-  а это совокупность линейных неравенств, а не система



Решение систем линейных неравенств

Чтобы решить систему неравенств мы должны найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе.

Пример: Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:

решение линейного неравенства на числовой оси

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

решение второго линейного неравенств в системе

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

общее решение линейных неравенств на оси

Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.

Если в системе находятся требующие преобразований неравенства, то при решении системы каждое неравенство независимо от других преобразовывается к одному из видов: \(x<c\), \(x>c\), \(x\leq c\), \(x\geq c\). И только после этого ищут общее решение, пересекая решения неравенств на числовой оси.

Пример:  Решить систему \(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\)
Решение:

\(\begin{cases}x-4\geq0\\x-0,3\geq1\end{cases}\)

Перенесем \(-4\) и \(-0,3\) в правую сторону, меняя при этом их знак

\(\begin{cases}x\geq4\\x\geq1,3\end{cases}\)

 

Отметим решения на числовой оси

Решение системы линейных неравенств на оси

 

Запишем общее решения неравенств

Ответ: \([4;+\infty)\)


Пример:  Решить систему \(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\)
Решение:

\(\begin{cases}4(x-1)<3x+1\\-3x+7\geq4(1-x)\end{cases}\)

Раскроем в каждом неравенстве скобки

\(\begin{cases}4x-4<3x+1\\-3x+7\geq4-4x\end{cases}\)

Слагаемые с иксом в одну сторону,слагаемые без икса в другую

\(\begin{cases}4x-3x<1+4\\-3x+4x\geq4-7\end{cases}\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(\begin{cases}x<5\\x\geq-3\end{cases}\)

 

Объединим решения на числовой оси

 объедение решений линейных неравенств на оси    Запишем ответ

Ответ: \([-3;5)\)

Заметьте, что для решения первой системы мы использовали две числовые оси, пересекая их пунктиром, а для решения второй и третьей – одну ось. Вы можете сами выбирать сколько осей вам рисовать, оба варианта допустимы. Однако в больших системах (\(3\) или более неравенства) советую для каждого неравенства чертить свою ось.



Системы линейных неравенств и двойные неравенства

Помимо рассмотренных выше примеров, есть особый вид систем линейных неравенств: двойные неравенства. Они притворяются, что совсем не системы, но на самом деле еще какие системы!


Например:  
- неравенство \(3<x-1<7\)  можно записать как  \(\begin{cases}x-1>3\\x-1<7\end{cases}\)
- неравенство \(2x-5<3x+7≤8x\) можно записать как \(\begin{cases}2x-5< 3x+7\\3x+7\leq8x\end{cases}\)

Первое неравенство удобнее решать в виде двойного, из-за того, что в левой и правой части нет переменных. А вот второе лучше решать как систему из-за того, что иксы есть во всех трех частях неравенства.

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*