Равносильные неравенства. Равносильные преобразования неравенств

Равносильными неравенствами называют неравенства,  решения которых совпадают. Равносильными считаются также неравенства, которые не имеют решений.

Примеры: 

  • Неравенства \(x-1>2\) и \(x+7>10\) равносильны, так как их решения совпадают: \(x>3\).
  •  Равносильны и неравенства \(6x^2-7x+8<6x^2-7x+1\) и \(2x-4>2x+5\) - ни одно из них не имеет решений.
  •  А вот неравенства \(-2x<4\) и \(x<-2\) неравносильны, так как, например, у первого решением будет \(x ϵ (-2;∞)\), а решение второго - \(x ϵ (-∞;-2)\).


Равносильные преобразования неравенств - это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным неравенствам.



Основные равносильные преобразования неравенств:

  1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую со сменой  знака слагаемого на противоположный.

    \(4x-1>7\)
    \(4x>7+1\)


  2. а) Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или выражение не равное нулю.

    \(4x<8\)   \(|:4\)
    \(x<2\)          

    \(x(x^2+1)≥x^2+1\)    \(|:(x^2+1)\)
    \(x≥1\)

    б) Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или выражение с переменой знака неравенства на противоположный.

    \(-4x<8\)   \(|:-4\)
    \(x>-2\)          

    \(-x(x^2+49)≥-x^2-49\)  \(|:(-x^2-49)\)
    \(x \leq 1\)                  


  3. Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

    \((x+1)^2≤4\)
    \(x^2+2x+1≤4\)

    \(5^{x+1}>25\)
    \(5^{x+1}>5^2\)


  4. Возведение в нечетную степень обеих частей неравенства.

    \(\sqrt[3]{12x^2-28x+8}≤2\)
    \(12x^2-28x+8≤8\)


  5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

    \((x-5)^3<(2x+4)^3\)
    \(x-5<2x+4\)


  6. а) Переход вида: \(a^{f(x)}∨a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)∨g(x)\), если \(a>1\).

    \(5^{x^2-2x}>5^{x-2}\)
    \(x^2-2x>x-2\)

    б) Переход вида: \(a^{f(x)}∨a^{g(x)}\) ⇔ \(f(x)∧g(x)\),если \(a∈(0;1)\).

    \((\frac{1}{4})^{x-1}< (\frac{1}{4})^4\)
    \(x-1>4\)


  7. а) Переход вида: \(log_{a}⁡{f(x)}∨log_{a}{⁡g(x)}⇔ f(x)∨g(x)\), если \(a>1\) и \(\begin{cases}f(x)>0\\g(x) >0\end{cases}\)

    \(log_{3}{⁡(x-2)}\) \(≤\) \(log_{3}⁡{9}\)
    ОДЗ: \(x>2\)
    \(x-2\) \(≤\) \(9\)

    б) Переход вида: \(log_{a}⁡{f(x)}∨log_{a}{⁡g(x)}⇔ f(x)∧g(x)\), если \(a∈(0;1)\) и \(\begin{cases}f(x)>0\\g(x) >0\end{cases}\)

    \(log_{3}{⁡(x-2)}\) \(≤\) \(log_{3}⁡{9}\)
    ОДЗ: \(x>2\)
    \(x-2\) \(\geq\) \(9\)


Пример: Найдите равносильные неравенства. Укажите, какие виды равносильных преобразований применялись:

a) \(x^2-2x<-1\)
    \(x^2-2x+1<0\)

b) \(3x<6\)
       \(x<2\)

c) \(x^2<2x+1\)
   \(-x^2<-2x-1\)

d) \(x^2-4x+4>0\)
   \((x-2)^2>0\)

e) \(\sqrt[3]{x}>2\)
        \(x<8\)

f) \(0,1^{x^2-2x}>0,1^x\)
    \(x^2-2x < x\)


Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) применялось равносильное преобразование 2.

В пункте c) умножили неравенство на \(-1\),  но не поменяли знак неравенства – значит применилось не равносильное преобразование.

В пункте d) применялась формула квадрата разности - равносильное преобразование 3 .

В пункте e)  возвели обе части неравенства в куб, но при этом поменяли знак неравенства – преобразование не равносильное

В пункте f) перешли от вида \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) к виду \(f(x) < g(x)\), и т.к. \(a∈(0;1)\) - это преобразование равносильное.

Равносильные преобразования применяют, чтобы найти решение неравенства. Каждый раз, когда вы правильно решали неравенство, вы использовали равносильные преобразования. Фактически вместо «равносильные преобразования» можно сказать «правильные преобразования».


Пример: Решите неравенство \(-2x(x-2)≤6-4x\)

\(-2x(x-2)≤6-4x\)

Используем 3 равносильное преобразование - раскроем скобки.

\(-2x^2+4x≤6-4x\)

Используем 1 равносильное преобразование - перенесем все слагаемые в правую часть

\(-2x^2+4x+4x-6≤0\)

 

Используем 3 равносильное преобразование - приведем подобные слагаемые

\(-2x^2+8x-6≤0\)

 

Используем 2 равносильное преобразование – поделим все неравенство на \(-2\)

\(x^2-4x+3≥0\)


Используем 3 равносильное преобразование – разложим квадратный трехчлен на множители.

 

\(D=16-12=4=2^2\)
\(x_1=\)\(\frac{4-2}{2}\) \(=1\); \(x_2=\)\(\frac{4+2}{2}\)\(=3\)
\((x-1)(x-3)≥0\)

  Воспользуемся методом интервалов.
 Решение неравенства с помощью равносильных преобразований   Метод интервалов – не относится к равносильным преобразованием, это именно метод решения неравенств.

 

Запишем ответ

Ответ: \(x\in(-\infty;1]\cup [3;\infty) \)

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*