Равносильные неравенства. Равносильные преобразования неравенств

Примеры: 

• Неравенства \(x-1>2\) и \(x+7>10\) равносильны, так как их решения совпадают: \(x>3\).
•  Равносильны и неравенства \(6x^2-7x+8<6x^2-7x+1\) и \(2x-4>2x+5\) - ни одно из них не имеет решений.
•  А вот неравенства \(-2x<4\) и \(x<-2\) неравносильны, так как, например, у первого решением будет \(x ϵ (-2;∞)\), а решение второго - \(x ϵ (-∞;-2)\).
  

Основные равносильные преобразования неравенств:

1. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую со сменой  знака слагаемого на противоположный.

   \(4x-1>7\)
   \(4x>7+1\)




2. а) Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число или выражение не равное нулю.

   \(4x<8\)   \(|:4\) \(x<2\)

   \(x(x^2+1)≥x^2+1\)    \(|:(x^2+1)\) \(x≥1\)

   б) Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число или выражение с переменой знака неравенства на противоположный.

   \(-4x<8\)   \(|:-4\) \(x>-2\)

   \(-x(x^2+49)≥-x^2-49\)  \(|:(-x^2-49)\) \(x \leq 1\)

   
   

3. Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

   \((x+1)^2≤4\) \(x^2+2x+1≤4\)

   \(5^{x+1}>25\) \(5^{x+1}>5^2\)

   
   

4. Возведение в нечетную степень обеих частей неравенства.
   

   \(\sqrt[3]{12x^2-28x+8}≤2\)
   \(12x^2-28x+8≤8\)

   
   
5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
   

   \((x-5)^3<(2x+4)^3\)
   \(x-5<2x+4\)




6. а) Переход вида: \(a^{f(x)}∨a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)∨g(x)\), если \(a>1\).
   

   \(5^{x^2-2x}>5^{x-2}\)
   \(x^2-2x>x-2\)

   б) Переход вида: \(a^{f(x)}∨a^{g(x)}\) ⇔ \(f(x)∧g(x)\),если \(a∈(0;1)\).

   \((\frac{1}{4})^{x-1}< (\frac{1}{4})^4\)
   \(x-1>4\)




7. а) Переход вида: \(log_{a}⁡{f(x)}∨log_{a}{⁡g(x)}⇔ f(x)∨g(x)\), если \(a>1\) и \(\begin{cases}f(x)>0\\g(x) >0\end{cases}\)

   \(log_{3}{⁡(x-2)}\) \(≤\) \(log_{3}⁡{9}\)
   ОДЗ: \(x>2\)
   \(x-2\) \(≤\) \(9\)

   б) Переход вида: \(log_{a}⁡{f(x)}∨log_{a}{⁡g(x)}⇔ f(x)∧g(x)\), если \(a∈(0;1)\) и \(\begin{cases}f(x)>0\\g(x) >0\end{cases}\)

   \(log_{3}{⁡(x-2)}\) \(≤\) \(log_{3}⁡{9}\)
   ОДЗ: \(x>2\)
   \(x-2\) \(\geq\) \(9\)

Пример: Найдите равносильные неравенства. Укажите, какие виды равносильных преобразований применялись:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) применялось равносильное преобразование 2.

В пункте c) умножили неравенство на \(-1\),  но не поменяли знак неравенства – значит применилось не равносильное преобразование.

В пункте d) применялась формула квадрата разности - равносильное преобразование 3 .

В пункте e)  возвели обе части неравенства в куб, но при этом поменяли знак неравенства – преобразование не равносильное

В пункте f) перешли от вида \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) к виду \(f(x) < g(x)\), и т.к. \(a∈(0;1)\) - это преобразование равносильное.

Равносильные преобразования применяют, чтобы найти решение неравенства. Каждый раз, когда вы правильно решали неравенство, вы использовали равносильные преобразования. Фактически вместо «равносильные преобразования» можно сказать «правильные преобразования».

Пример: Решите неравенство \(-2x(x-2)≤6-4x\)

\(-2x(x-2)≤6-4x\)		Используем 3 равносильное преобразование - раскроем скобки.
\(-2x^2+4x≤6-4x\)		Используем 1 равносильное преобразование - перенесем все слагаемые в правую часть
\(-2x^2+4x+4x-6≤0\)		Используем 3 равносильное преобразование - приведем подобные слагаемые
\(-2x^2+8x-6≤0\)		Используем 2 равносильное преобразование – поделим все неравенство на \(-2\)
\(x^2-4x+3≥0\)		Используем 3 равносильное преобразование – разложим квадратный трехчлен на множители.
\(D=16-12=4=2^2\) \(x_1=\)\(\frac{4-2}{2}\) \(=1\); \(x_2=\)\(\frac{4+2}{2}\)\(=3\) \((x-1)(x-3)≥0\)		Воспользуемся методом интервалов.
		Метод интервалов – не относится к равносильным преобразованием, это именно метод решения неравенств.   Запишем ответ

Ответ: \(x\in(-\infty;1]\cup [3;\infty) \)