Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов
Метод интервалов применяется при решении огромного количества самых разных неравенств – квадратных, дробно-рациональных, показательных, логарифмических…
Примеры неравенств, которые удобно решать методом интервалов:
|
\((2x-5)(x+3)≤0\) |
\(\frac{-14}{x^2+2x-15}\)\(≤0\) |
|
\(x^2<361\) |
\(\frac{x^2-6x+8}{x-1}\)\(-\)\(\frac{x-4}{x^2-3x+2}\)\(≤0\) |
|
\(\frac{x-2}{3-x}\)\(≤0\) |
\(\frac{2}{5^x-1}\)\(+\)\(\frac{5^x-2}{5^x-3}\)\(≥2\) |
|
\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) |
\(\frac{5\log^2_{2}x-100}{\log^2_{2}x-25}\)\(≥4\) |
Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)
-
Равносильными преобразованиями приведите неравенство к виду: \(\frac{(x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…}{(x-x_3 )^l (x-x_4 )^m…}\)\(∨0\) или \((x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…∨0\) (\(∨\) - любой знак сравнения; \(n,k,l,m\) – любые натуральные числа большие нуля, в том числе и \(1\))
Пример:
\((2x+5)(x-2)>5\)
\(2x^2-4x+5x-10-5>0\)
\(2x^2+x-15>0\)
\(D=1-4 \cdot 2 \cdot (-15)=121=11^2\)
\(x_1=\frac{-1-11}{2 \cdot 2}=-3;\) \(x_2=\frac{-1+11}{2 \cdot 2}=\frac{5}{2}\)
\(2(x-\frac{5}{2})(x+3)>0\) \(|:2\)
\((x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)Отметим, что здесь применено разложение на множители квадратного трехчлена.
-
Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).
\(x=\frac{5}{2}; x=-3\)
-
Нанесите найденные значения на числовую ось.
Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет - закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения.
-
Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:
- В крайнем правом интервале ставим знак плюс;
- Дальше двигаемся влево;
- Переходя через число:
- меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)- не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)
-
Выделите нужные промежутки.
Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести этот корень в ответ (такая ситуация рассмотрена в одном из примеров ниже).
-
Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).
Ответ: \((-∞;-3)∪(\frac{5}{2};∞)\)
Почему алгоритм метода интервалов работает именно так?
+5 видео-примеров решения
Пример. (задание из ОГЭ) Решите неравенство методом интервалов \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
|
\((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\) |
Чтобы в неравенстве справа был \(0\), перенесем выражение из правой части в левую. |
|
|
\((x-7)^2- \sqrt{11}(x-7)<0\) |
Вынесем за скобку \((x-7)\). |
|
|
\((x-7)(x-7-\sqrt{11})<0\) |
Находим корни. |
|
|
\(x=7;\) \(x=7+\sqrt11\) |
Расставляем на числовой оси корни, затем знаки и закрашиваем нужные интервалы |
|
|
Записываем ответ |
Ответ: \((7;7+\sqrt{11})\)
Пример. Решите неравенство методом интервалов \(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\)\(≥0\)
Решение:
|
\(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\)\(≥0\) |
Здесь на первый взгляд все кажется нормальным, а неравенство изначально приведенным к нужному виду. Но это не так – ведь в первой и третьей скобке числителя икс стоит со знаком минус.
Преобразовываем скобки, с учетом того, что четвертая степень - четная (т.е. уберет знак минус), а третья – нечетная (т.е. не уберет). |
|
|
\(\frac{-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\)\(≥0\) |
Теперь все скобки выглядят как надо (первым идет иск без знака и только потом число). Но перед числителем появился минус. Убираем его, умножая неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения |
|
|
\(\frac{(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\)\(≤0\) |
Готово. Вот теперь неравенство выглядит как надо. Можно применять метод интервалов. |
|
|
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\) |
Расставим точки на оси, знаки и закрасим нужные промежутки. |
|
|
В промежутке от \(4\) до \(6\), знак не надо менять, потому что скобка \((x-6)\) в четной степени (см. пункт 4 алгоритма). Флажок будет напоминанием о том, что шестерка - тоже решение неравенства. |
Ответ: \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\{6\right\}\)
Пример. (Задание из ОГЭ) Решите неравенство методом интервалов \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:
|
\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\) |
Слева и справа есть одинаковые выражения – это явно не случайно. Первое желание – поделить на \(-x^2-64\), но это ошибка, т.к. есть шанс потерять корень. Вместо этого перенесем \(64(-x^2-64)\) в левую сторону |
|
|
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\) |
Вынесем за скобку общий множитель. |
|
|
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\) |
Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую |
|
|
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\) |
Обратите внимание: \(x^2\) либо равно нулю, либо больше нуля. Значит, \(x^2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение. |
|
|
\((x-8)(x+8)≥0\) |
Теперь можно применять метод интервалов |
|
|
\(x=8;\) \(x=-8\) |
Запишем ответ |
Ответ: \((-∞;-8]∪[8;∞)\)
Смотрите также:
Квадратные неравенства
Дробно-рациональные неравенства
Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте
Хочу задать вопрос