Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства?

Логарифмическими называют неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма.

Если проще: это неравенства, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри логарифмов.

Примеры:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ {(x^2-3)}< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}⁡{(x^2+3x-7)}>2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)



Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из знаков сравнения). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если основание логарифма - число и оно больше 1 - знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание - число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Перемена знака в логарифмических неравенствах

Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}<1\)
ОДЗ: \(8-x>0\)
\(-x>-8\)
\(x<8\)

Решение:
\(\log\)\(_2\)\((8-x)<\log\)\(_2\)\({2}\)
\(8-x\)\(<\)\(2\)
\(8-2<x\)
\(x>6\)
Ответ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_{0,5⁡}\)\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)⁡\({(x+1)}\)
ОДЗ: \(\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x\in(2;\infty)\)

Решение:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

\(-\) вы написали ОДЗ для исходного неравенства. Напоминаю ОДЗ для логарифма \(\log_a⁡b\):

\(b>0\), \(a>0\), \(a≠1\).

\(-\) число в основании логарифмов слева и справа одинаково;

\(-\) логарифмы слева и справа - «чистые», то есть нет никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы и слева, и справа;

Кстати, в конце (после решения) не забудьте пересечь решения неравенства с ОДЗ.

Например:

1) \(\log_3⁡{(x^2-3)}>\log_3⁡{(2x)}\)
\(x^2-3>2x\)
\(x^2-2x-3>0\)
решение логарифмических неравенств без одз
\(x∈(-∞;-1)∪(3;+∞)\)


Не написали ОДЗ и не пересекли с ним решение. Неравенство решено неверно.

2) \(\log_5⁡{(x-7)}≤\log_3{⁡4} \)

Основания логарифмов разные, переход к \(x-7≤4\) невозможен.

3) \(\log_6⁡{(x-2)}-\log_6⁡{x}<\log_6⁡{(2x)}\)

Логарифмы не «чистые», так как слева есть разность логарифмов. Переход к \((x-2)-x<2x\) невозможен.

4) \(\log_2⁡{(x^2-24)}≥-\log_2⁡x\)

Логарифмы не «чистые» т.к. справа есть минус перед логарифмом. Переход к \(x^2-24≥-x\) невозможен.

Заметим, однако, что неравенства 3 и 4 можно легко решить, если воспользоваться свойствами логарифмов.


Пример. Решить неравенство: \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)  

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)\(>0\)

ОДЗ представляет собой дробно-рациональное неравенство. Решим его с помощью метода интервалов. Вынесем в числителе за скобки \(3\), а в знаменателе \(2\), чтобы убрать коэффициенты перед иксами.        

\(\frac{3(x-\frac{2}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(>0\)

Теперь очевидно, что корни у нас – числа \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\)
Построим числовую ось и отметим на ней эти точки.

ОДЗ в логарифмических неравенствах

Запишем ОДЗ в виде интервалов.

\(x∈(-∞;\)\(\frac{2}{3}\)\()∪(\)\(\frac{3}{2}\)\(;∞)\)

С ОДЗ закончили, переходим к решению.

Решение: 
\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Воспользовавшись свойствами логарифмов и свойствами степени, преобразуем правую часть:
\(-1=-1 \cdot 1=-1 \cdot \log\) \(_\frac{1}{3} \frac{⁡1}{3}\)\(=\log\)\(_\frac{1}{3}⁡ {\frac{1}{3}}^{-1}\) \(=\log\) \(_\frac{1}{3}\) \(⁡3\).

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤\log\) \(_{\frac{1}{3}}\)\(3\)

Мы привели неравенство к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\). Теперь можно избавиться от логарифмов и оснований. Нужно только определиться, менять знак сравнения или нет. Основание \(\frac{1}{3}<1\), следовательно, знак меняем.

\(⁡\frac{3x-2}{2x-3}\)\(≥\) \(3\)

Переносим \(3\) и приводим к общему знаменателю, пользуясь свойствами дробей.

\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые.

\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)

Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\)\(≤\) \(0\)

Далее выносим \(3\) из числителя и \(2\) из знаменателя.

\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\)\(≤\) \(0\)

Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\). Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.

решение логарифмического неравенства
\(x∈(\)\( \frac{3}{2}\)\(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. 

решение логарифмических неравенств с ОДЗ

Записываем окончательный ответ.

Ответ:   \(x∈(\)\( \frac{3}{2}\)\(;\)\(\frac{7}{3}]\)


Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(x>0\)

Приступим к решению.

Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем замену.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

Раскладываем левую часть неравенства на множители.

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Решаем неравенство методом интервалов.

решение методом интервалов

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\),    \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Делаем переход  к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.

пересечение с одз

Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)


Смотрите также:
Показательные неравенства

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*