Метод замены переменной

Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.

Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.

Например

\((x+\frac{1}{x})^2-5(x+\frac{1}{x})+6=0\)

                              

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

\(t=x+\frac{1}{x}\)

 

Заменим выражение \(x+\frac{1}{x}\) буквой \(t\).

\(t^2-5t+6=0\)

 

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:

\(2 \sin⁡x\cdot\cos⁡{6x}=\sin⁡x\)

                              

Попробуем сделать замену здесь.

\(t=\sin x\)

 

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

\(2t\cdot\cos⁡{6x}=t\)

 

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.




Примеры использования метода замены переменной

Пример. Решите уравнение: \(4x^4-5x^2+1=0\).
Решение:

\(4x^4-5x^2+1=0\)

                              

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

\(4(x^2 )^2 -5x^2+1=0\)

 

Теперь используем метод замены.

\(t=x^2\)

 

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

\(4t^2-5t+1=0\)

 

Получилось квадратное уравнение. Решаем его. 

\(t_1=1\)                       \(t_2=\)\(\frac{1}{4}\)


Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

\(x^2=1\)                     \(x^2=\)\(\frac{1}{4}\)


Получили два неполных квадратных уравнения. Решаем их.

\(x_{1,2}=±1\)      \(x_{3,4}=±\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\)
                           \( x_{3,4}=±\)\(\frac{1}{2}\)


Записываем ответ.

Ответ: \(±1\); \(±\)\(\frac{1}{2}\).

Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) - строго обязателен!



Пример. Решить неравенство: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Решение:

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(x>0\)

 

Приступим к решению.

Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

 

Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство.
Делаем замену.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

  Раскладываем левую часть неравенства на множители.

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)




Решаем неравенство методом интервалов.

решение методом интервалов


Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)


Преобразовываем числа в логарифмы \(2=\log_3⁡9\),    \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)


Делаем переход  к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 


Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.

пересечение с одз


Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\).


Смотрите также:
Решение уравнений методом разложения на множители

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*