Метод замены переменной

\((x+\frac{1}{x})^2-5(x+\frac{1}{x})+6=0\)

У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.

\(t=x+\frac{1}{x}\)

Заменим выражение \(x+\frac{1}{x}\) буквой \(t\).

\(t^2-5t+6=0\)

Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).

\(2 \sin⁡x\cdot\cos⁡{6x}=\sin⁡x\)

Попробуем сделать замену здесь.

\(t=\sin x\)

Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).

\(2t\cdot\cos⁡{6x}=t\)

Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.

\(4x^4-5x^2+1=0\)

Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.

\(4(x^2 )^2 -5x^2+1=0\)

Теперь используем метод замены.

\(t=x^2\)

Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).

\(4t^2-5t+1=0\)

Получилось квадратное уравнение. Решаем его. 

\(t_1=1\)                       \(t_2=\)\(\frac{1}{4}\)

Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.

\(x^2=1\)                     \(x^2=\)\(\frac{1}{4}\)

Получили два неполных квадратных уравнения. Решаем их.

\(x_{1,2}=±1\)      \(x_{3,4}=±\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\)
                           \( x_{3,4}=±\)\(\frac{1}{2}\)

Записываем ответ.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(x>0\)

Приступим к решению.

Решение: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство.
Делаем замену.

\(t=\log_3⁡x\)
\(t^2-t-2>0\)

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Решаем неравенство методом интервалов.

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Преобразовываем числа в логарифмы \(2=\log_3⁡9\),    \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Делаем переход  к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.

Запишем ответ.