Совокупность уравнений и неравенств

Совокупность уравнений (неравенств) – это несколько неравенств или уравнений, решения которых нужно объединить.

Совокупность выглядит вот так:  Пример совокупности

Совокупности похожи на системы – в них так же присутствуют два или более неравенства (уравнения), но в отличие от системы мы ищем решение, которое подходит хотя бы одному из них  (а не всем сразу).  

Давайте сравним решение системы и совокупности:

\(\begin{cases}2x-8>0\\\frac{1}{2}x≤3,5\end{cases}\) \( \left[ \begin{gathered}2x-8>0\\ \frac{1}{2}x≤3,5\end{gathered}\right.\)

Сначала в обоих случаях нужно решить каждое неравенство и нанести решения на числовую ось.

\(\begin{cases}2x>8 \; |:4\\\frac{1}{2}x≤3,5 \;\;\; |\cdot 2 \end{cases}\) \( \left[ \begin{gathered}2x>8 \; \;|:4\\ \frac{1}{2}x≤3,5 \;\;\; |\cdot 2\end{gathered}\right.\)
\(\begin{cases}x>4\\x≤7 \end{cases}\) \( \left[ \begin{gathered}x>4\\ x≤7 \end{gathered}\right.\)
решение совокупности
решение совокупности
Ответ: \((4;7]\) Ответ: \((-∞;+∞)\)

То есть решение неравенств внутри системы и совокупности одинаково. Но разница появляется, когда мы начинаем искать окончательный ответ. В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подходят и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, то есть находим иксы, которые подходят хотя бы одному неравенству (или обоим сразу).

Наглядно эту идею можно представить так:

пример решения системы                                                    пример решения совокупности

    решение системы                                                            решение совокупности


Пример. Решить совокупность:  \( \left[ \begin{gathered}\frac{x}{3}-5>1\\ x^2-7x<0 \end{gathered}\right.\)

Решение:

\( \left[ \begin{gathered}\frac{x}{3}-5>1\\ x^2-7x<0 \end{gathered}\right.\)

                              

Первое неравенство – линейное, второе - квадратное.

В первом перенесем \(-5\) в правую часть, а во втором – вынесем за скобку икс.   

\( \left[ \begin{gathered}\frac{x}{3}>6\\ x(x-7)<0 \end{gathered}\right.\)

 

Теперь в первом умножим обе части на \(3\).

\( \left[ \begin{gathered}x>18\\ x(x-7)<0 \end{gathered}\right.\)

 

Отметим решения на числовых осях.

решение совокупности

 

«Соединим» решения первого и второго неравенства.

Ответ: \((0;7)∪(18;+∞)\)


Пример. Решить совокупность уравнений:  \( \left[ \begin{gathered} x^2+2x-3=0\\ x^2-4x-21=0 \end{gathered}\right.\)

Решение:

Оба уравнения – обычные квадратные с одной переменной. Решая их по отдельности (через дискриминант или по теореме Виета – неважно), находим корни:
- у первого уравнения корни: \(-3\) и \(1\);
- у второго уравнения корни: \(-3\) и \(7\).
А окончательным ответом будут они все, то есть:

Ответ: \(x_1=-3;\)         \(x_2=1;\)         \(x_3=7.\)

Замечание: если бы мы в последнем примере решали не совокупность, а систему, то в ответ пошло бы только одно значение: \(-3\) (потому что только оно подходит обоим уравнениям сразу).

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*