Совокупность уравнений и неравенств
Совокупность уравнений (неравенств) – это несколько неравенств или уравнений, решения которых нужно объединить.
Совокупность выглядит вот так: |
Совокупности похожи на системы – в них так же присутствуют два или более неравенства (уравнения), но в отличие от системы мы ищем решение, которое подходит хотя бы одному из них (а не всем сразу).
Давайте сравним решение системы и совокупности:
\(\begin{cases}2x-8>0\\\frac{1}{2}x≤3,5\end{cases}\) | \( \left[ \begin{gathered}2x-8>0\\ \frac{1}{2}x≤3,5\end{gathered}\right.\) |
Сначала в обоих случаях нужно решить каждое неравенство и нанести решения на числовую ось.
\(\begin{cases}2x>8 \; |:4\\\frac{1}{2}x≤3,5 \;\;\; |\cdot 2 \end{cases}\) | \( \left[ \begin{gathered}2x>8 \; \;|:4\\ \frac{1}{2}x≤3,5 \;\;\; |\cdot 2\end{gathered}\right.\) |
\(\begin{cases}x>4\\x≤7 \end{cases}\) | \( \left[ \begin{gathered}x>4\\ x≤7 \end{gathered}\right.\) |
|
|
Ответ: \((4;7]\) | Ответ: \((-∞;+∞)\) |
То есть решение неравенств внутри системы и совокупности одинаково. Но разница появляется, когда мы начинаем искать окончательный ответ. В случае с системой мы «пересекаем» решения: т.е. ищем иксы, которые подходят и первому, и второму неравенству. А в случае с совокупностью мы «объединяем» решения, то есть находим иксы, которые подходят хотя бы одному неравенству (или обоим сразу).
Наглядно эту идею можно представить так:
решение системы решение совокупности
Пример. Решить совокупность: \( \left[ \begin{gathered}\frac{x}{3}-5>1\\ x^2-7x<0 \end{gathered}\right.\)
Решение:
\( \left[ \begin{gathered}\frac{x}{3}-5>1\\ x^2-7x<0 \end{gathered}\right.\) |
Первое неравенство – линейное, второе - квадратное. В первом перенесем \(-5\) в правую часть, а во втором – вынесем за скобку икс. |
|
\( \left[ \begin{gathered}\frac{x}{3}>6\\ x(x-7)<0 \end{gathered}\right.\) |
Теперь в первом умножим обе части на \(3\). |
|
\( \left[ \begin{gathered}x>18\\ x(x-7)<0 \end{gathered}\right.\) |
Отметим решения на числовых осях. |
|
|
«Соединим» решения первого и второго неравенства. |
Ответ: \((0;7)∪(18;+∞)\)
Пример. Решить совокупность уравнений: \( \left[ \begin{gathered} x^2+2x-3=0\\ x^2-4x-21=0 \end{gathered}\right.\)
Решение:
Оба уравнения – обычные квадратные с одной переменной. Решая их по отдельности (через дискриминант или по теореме Виета – неважно), находим корни:- у первого уравнения корни: \(-3\) и \(1\);
- у второго уравнения корни: \(-3\) и \(7\).
А окончательным ответом будут они все, то есть:
Ответ: \(x_1=-3;\) \(x_2=1;\) \(x_3=7.\)
Замечание: если бы мы в последнем примере решали не совокупность, а систему, то в ответ пошло бы только одно значение: \(-3\) (потому что только оно подходит обоим уравнениям сразу).
Хочу задать вопрос