Уравнения

Обычно имеет вид:

Виды уравнений

Уравнения различаются по типам (обычно в зависимости от содержимого выражений слева и справа от знака "равно":

\(3x+14=5(x-2)\)		- линейное		Самый простой, базовый тип, здесь есть только переменные в первой степени и числа
\(x^2-6x+9=0\)		- квадратное		Есть переменная во второй степени (квадрате), но старших степеней нет.
\(\log_{3}{(x+1)}=5\)		- логарифмическое		Есть переменная под знаком логарифма.
\(2^{x}=8\)		- показательное		Есть переменная в показателе степени

...и так далее.

Корень уравнения

При решении любого уравнения мы стремимся найти такое значение для переменной (обычно икса), при котором левая часть уравнения станет равна правой. Это значение и будет называться корнем уравнения (не путать с квадратным корнем - это разные понятия!)

Таким образом,

Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\), мы находим ответ: \(x=3\). И если мы подставим это число вместо икса, получим одинаковые значения слева и справа:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.

Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная, а корень – это число, которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.

Как решать уравнения?

Для того, чтобы найти корни уравнения, используют равносильные преобразования. Смысл при этом в том, чтобы после преобразований получить более простое уравнение, имеющее такие же корни (то есть, равносильное исходному).

Пример: Решить уравнение \(2(1-x)=23-5x\)
Решение: Сразу найти такой икс, чтоб левая и правая части уравнялись – проблематично: перебирать долго. Давайте равносильно преобразуем (почему преобразования именно такие – читайте здесь).

   \(2-2x=23-5x\)
\(-2x+5x=23-2\)
\(3x=21\)
\(x=7\)

Ответ: \(7\)

Обратите внимание, что с каждым шагом уравнение становится проще: если в исходном уравнении понять, что корнем будет число \(7\) сложно, то в \(3x=21\) (а уж тем более в \(x=7\)) это очевидно. Но при этом семерка является корнем для любого из уравнений, полученных в процессе преобразований, и других корней в них нет.

Кстати, заметьте, что \(x=7\) - это тоже уравнение. Просто в нем очевиден корень, поэтому большинство учеников даже не воспринимают эту запись за уравнение, считая, что это, мол, ответ так записывается. Не-не-не, \(x=7\) - это тоже вполне себе полноценное уравнение, только очень простое. А ответ (то есть корень) – просто число \(7\).

ОДЗ - опасная ловушка

В некоторых типах уравнений (дробно-рациональных, логарифмических, иррациональных, а также тригонометрических с тангенсом или котангенсом) помимо решения самого уравнения необходимо также учитывать ограничения на ОДЗ (область допустимых значений).

Пример: Найдите корни уравнения \(\sqrt{4x+5}=x\)
Решение:

\(\sqrt{4x+5}=x\)		Возведем в квадрат правую и левую части
\(4x+5=x^2\)		Перенесем \(x^2\) влево, поменяв знак перед ним
\(-x^2+4x+5=0\)		Умножим уравнение на \(-1\)
\(x^2-4x-5=0\)		Решаем квадратное уравнение и находим корни
\(x_{1}=5\)        \(x_{2}=-1\)		Готово

Всё? Можно писать ответ?

Не так быстро. Дело в том, что один из корней тут лишний. Давайте подумаем. У нас в левой части есть квадратный корень. А он, как известно, во-первых, не извлекается из отрицательных значений, а во-вторых, сам не может быть равен отрицательному числу. Таким образом, у нас икс НЕ МОЖЕТ иметь значение, которое приведет нас к одной из этих ситуаций. Иными словами, икс должен быть таким, чтоб:
             - подкоренное выражение было больше или равно нулю,
             - правая часть была больше или равна нулю.

То есть в качестве ограничений на значения икса (так называемую область определения или область допустимых значений) мы имеем систему неравенств: \(\begin{cases}4x+5\geq0\\x \geq 0\end{cases}\)

Решая систему, получаем: \(\begin{cases}x\geq-1,25\\x \geq 0\end{cases}\)      \(\Rightarrow\)      \(x\in [0;+\infty)\)

Таким образом, получается, что нам подойдут только те иксы, которые больше нуля или равны нулю. А значит \(x_{2}=-1\) не подойдет по ОДЗ.

И действительно, если мы поставим \(-1\) в уравнение, получим:

\(\sqrt{4x+5}=x\)
\(\sqrt{4\cdot(-1)+5}=-1\)
\(\sqrt{1}=-1\)

Пришли к противоречию, ведь \(\sqrt{1}\neq-1\)

Окончательный ответ: \(5\)