Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?

Показательное уравнение – это уравнение c переменной в показателе степени.

Примеры:

\(4^x=32\)
\(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\)
\((\sqrt{7})^{2x+2}-50\cdot(\sqrt{7})^{x}+7=0\)




Как решать показательные уравнения

При решении любое показательное уравнение мы стремимся привести к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\), а затем сделать переход к равенству показателей, то есть:
\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)       \(⇔\)        \(f(x)=g(x)\)

Например:                                             \(2^{x+1}=2^2\)           \(⇔\)          \(x+1=2\)

Важно! Из той же логики следуют два требования для такого перехода:
- число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
- степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.


Например:

1)  \(3^{x+2}=5^{8-x}\)

В этом показательном уравнении переход к \(x+2= 8-x\) невозможен, так как в основаниях разные числа

2)  \(7^{x}+7^{3x}=7^{2x}\)

Здесь переход к \(x+3x=2x\) также невозможен, так как слева стоит сумма.

3)  \(2^{5-x}=-2^{7x}\)

И в этом случае перейти к \(5-x=7x\) нельзя, ведь справа есть минус.


Для привидения уравнения к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) применяются свойства степеней и свойства корней.

Пример. Решить показательное уравнение  \(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)
Решение:

\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение.

\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b )^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\).

\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\).

\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\).

\(3^{x+0,5}=(3^{-1} )^{2x}\)

Применив свойство \((a^b )^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1} )^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\).

\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\)

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д.  Значит, можем делать переход.

\(x+0,5=-2x\)

Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ.

Ответ: \(x=-\frac{1}{6}\).



Пример. Решить показательное уравнение  \(2^{x+3}+2^{x+2}-2^{x+1}=160\)
Решение:

\(2^{x+3}+2^{x+2}-2^{x+1}=160\)

Воспользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\) в обратном направлении.

\(2^x \cdot 2^3+2^x \cdot 2^2-2^x \cdot 2^1=160\)

Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель \(2^x\) …

\(2^x (2^3+2^2-2^1 )=160\)

…и вычисляем содержимое в скобке.

\(2^x (8+4-2)=160\)

 

\(10 \cdot 2^x=160\)

Делим на \(10\) обе части уравнения…

\(2^x=16\)

…и дорешиваем до ответа.

\( 2^x=2^4\)

 

Ответ: \(4\).



Иногда одних только свойств степеней оказывается недостаточно, и приходиться применять стандартные приемы для решения более сложных уравнений – замену переменной, расщепление  уравнения и т.д. 

Пример. Решить показательное уравнение  \(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)
Решение:

\(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)

Вновь пользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\) в обратном направлении.

\(4^x·4^{0,5}-5·2^x+2=0\)

Теперь вспоминаем, что \(4=2^2\).

\((2^2 )^x·(2^2 )^{0,5}-5·2^x+2=0\)

Используя свойства степени, преобразовываем:
\((2^2 )^x=2^{2x}=2^{x·2}=(2^x )^2\)
\((2^2 )^{0,5}=2^{2·0,5}=2^1=2.\)

\(2·(2^x )^2-5·2^x+2=0\)

Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2^x\).

\(2t^2-5t+2=0\)

Получили обычное квадратное уравнение. Решая его, находим корни.

\(t_1=2\)                        \(t_2=\frac{1}{2}\)

Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.

\(2^x=2\)                      \(2^x=\frac{1}{2}\)

Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…

\(2^x=2^1\)                     \(2^x=2^{-1}\)

…и дорешиваем до ответа.

\( x_1=1\)                      \( x_2=-1\)

 

Ответ: \(-1; 1\).

Остается вопрос - как понять, когда какой метод применять? Это приходит с опытом. А пока вы его не наработали, пользуйтесь общей рекомендацией для решения сложных задач – «не знаешь, что делать – делай, что можешь». То есть, ищите как вы можете преобразовать уравнение в принципе, и пробуйте это делать – вдруг чего и выйдет? Главное при этом делать только математически обоснованные преобразования.




Показательные уравнения, не имеющие решений

Разберем еще две ситуации, которые часто ставят в тупик учеников:
- положительное число в степени равно нулю, например, \(2^x=0\);
- положительное число в степени равно отрицательному числу, например, \(2^x=-4\).

Давайте попробуем решить перебором. Если икс - положительное число, то с ростом икса вся степень \(2^x\) будет только расти:

\(x=1\);        \(2^1=2\)
\(x=2\);        \(2^2=4\)
\(x=3\);        \(2^3=8\).

И так далее. Очевидно, что дальше увеличивать икс нет смысла, будет только «хуже» (т.е. мы будем удаляться от нуля и минус четверки).
Может быть нам поможет \(x=0\)? Проверяем:

\(x=0\);        \(2^0=1\)

Тоже мимо. Остаются отрицательные иксы. Вспомнив свойство \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\), проверяем:

\(x=-1\);        \(2^{-1}=\frac{1}{2^1} =\frac{1}{2}\)
\(x=-2\);        \(2^{-2}=\frac{1}{2^2} =\frac{1}{4}\)
\(x=-3\);        \(2^{-3}=\frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}\)

Несмотря на то, что число с каждым шагом становится меньше, до нуля оно не дойдет никогда. Так что и отрицательная степень нас не спасла. Приходим к логичному выводу:

Положительное число в любой степени останется положительным числом.

Таким образом, оба уравнения выше не имеют решений.




Показательные уравнения с разными основаниями

В практике порой встречаются показательные уравнения с разными основаниями, не сводимыми к друг к другу, и при этом с одинаковыми показателями степени. Выглядят они так: \(a^{f(x)}=b^{f(x)}\), где \(a\) и \(b\) – положительные числа.

Например:

\(7^{x}=11^{x}\)
\(5^{x+2}=3^{x+2}\)
\(15^{2x-1}=(\frac{1}{7})^{2x-1}\)

Такие уравнения легко можно решить делением на любую из частей уравнения (обычно делят на правую часть, то есть на \(b^{f(x)}\). Так делить можно, потому что положительное число в любой степени положительно (то есть, мы не делим на ноль). Получаем:

\(\frac{a^{f(x)}}{b^{f(x)}}\) \(=1\)

Дальше решаем с помощью свойств степени.

Пример. Решить показательное уравнение  \(5^{x+7}=3^{x+7}\)
Решение:

\(5^{x+7}=3^{x+7}\)

Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов). А значит мы не можем прийти к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\). При этом показатели одинаковы.
Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3^{x+7}\) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).

\(\frac{5^{x+7}}{3^{x+7}}\)\(=\)\(\frac{3^{x+7}}{3^{x+7}}\)

Теперь вспоминаем свойство \((\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}\) и используем его слева в обратном направлении. Справа же просто сокращаем дробь.

\((\frac{5}{3})^{x+7}\)\(=1\)

Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a^0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.

\((\frac{5}{3})^{x+7}\)\(=\)  \((\frac{5}{3})^0\)

Вуаля! Избавляемся от оснований.

\(x+7=0\)

Пишем ответ.

Ответ: \(-7\).


Иногда «одинаковость» показателей степени не очевидна, но умелое использование свойств степени решает этот вопрос.

Пример. Решить показательное уравнение  \(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)
Решение:

\(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)

Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна \(\frac{1}{3}\)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку.

\(7^{ 2(x-2)}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)

Помня свойство \((a^b )^c=a^{b·c}\) , преобразовываем слева:
\(7^{2(x-2)}=7^{2·(x-2)}=(7^2 )^{x-2}=49^{x-2}\).

\(49^{x-2}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)

Теперь, вспоминая свойство отрицательной степени \(a^{-n}=\frac{1}{a}^n\), преобразовываем справа: \((\frac{1}{3})^{-x+2}=(3^{-1})^{-x+2}=3^{-1(-x+2)}=3^{x-2}\)

\(49^{x-2}=3^{x-2}\)

Аллилуйя! Показатели стали одинаковы!
Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.

Ответ: \(2\).



Смотрите также:
Показательные  неравенства


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*