Показательные уравнения. Как решать показательные уравнения?

1)  \(3^{x+2}=5^{8-x}\)

В этом показательном уравнении переход к \(x+2= 8-x\) невозможен, так как в основаниях разные числа

2)  \(7^{x}+7^{3x}=7^{2x}\)

Здесь переход к \(x+3x=2x\) также невозможен, так как слева стоит сумма.

3)  \(2^{5-x}=-2^{7x}\)

И в этом случае перейти к \(5-x=7x\) нельзя, ведь справа есть минус.

\(\sqrt{27}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

Мы знаем, что \(27 = 3^3\). С учетом этого преобразуем уравнение.

\(\sqrt{3^3}·3^{x-1}={(\frac{1}{3})}^{2x}\)

По свойству корня \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) получим, что \(\sqrt{3^3}=({3^3})^{\frac{1}{2}}\). Далее, используя свойство степени \((a^b )^c=a^{bc}\), получаем \({(3^3)}^{\frac{1}{2}}=3^{3 \cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}\).

\(3^{\frac{3}{2}}\cdot 3^{x-1}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Также мы знаем, что \(a^b·a^c=a^{b+c}\). Применив это к левой части, получим: \(3^{\frac{3}{2}}·3^{x-1}=3^{\frac{3}{2}+ x-1}=3^{1,5 + x-1}=3^{x+0,5}\).

\(3^{x+0,5}=(\frac{1}{3})^{2x}\)

Теперь вспомним, что: \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). Эту формулу можно использовать и в обратную сторону: \(\frac{1}{a^n} =a^{-n}\). Тогда \(\frac{1}{3}=\frac{1}{3^1} =3^{-1}\).

\(3^{x+0,5}=(3^{-1} )^{2x}\)

Применив свойство \((a^b )^c=a^{bc}\) к правой части, получим: \((3^{-1} )^{2x}=3^{(-1)·2x}=3^{-2x}\).

\(3^{x+0,5}=3^{-2x}\)

И вот теперь у нас основания равны и нет никаких мешающих коэффициентов и т.д.  Значит, можем делать переход.

\(x+0,5=-2x\)

Решаем получившееся линейное уравнение и пишем ответ.

\(2^{x+3}+2^{x+2}-2^{x+1}=160\)

Воспользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\) в обратном направлении.

\(2^x \cdot 2^3+2^x \cdot 2^2-2^x \cdot 2^1=160\)

Теперь в левой части выносим за скобку общий множитель \(2^x\) …

\(2^x (2^3+2^2-2^1 )=160\)

…и вычисляем содержимое в скобке.

\(2^x (8+4-2)=160\)

\(10 \cdot 2^x=160\)

Делим на \(10\) обе части уравнения…

\(2^x=16\)

…и дорешиваем до ответа.

\( 2^x=2^4\)

\(4^{x+0,5}-5·2^x+2=0\)

Вновь пользуемся свойством степени \(a^b \cdot a^c=a^{b+c}\) в обратном направлении.

\(4^x·4^{0,5}-5·2^x+2=0\)

Теперь вспоминаем, что \(4=2^2\).

\((2^2 )^x·(2^2 )^{0,5}-5·2^x+2=0\)

Используя свойства степени, преобразовываем:
\((2^2 )^x=2^{2x}=2^{x·2}=(2^x )^2\)
\((2^2 )^{0,5}=2^{2·0,5}=2^1=2.\)

\(2·(2^x )^2-5·2^x+2=0\)

Смотрим внимательно на уравнение, и видим, что тут напрашивается замена \(t=2^x\).

\(2t^2-5t+2=0\)

Получили обычное квадратное уравнение. Решая его, находим корни.

\(t_1=2\)                        \(t_2=\frac{1}{2}\)

Однако мы нашли значения \(t\), а нам нужны \(x\). Возвращаемся к иксам, делая обратную замену.

\(2^x=2\)                      \(2^x=\frac{1}{2}\)

Преобразовываем второе уравнение, используя свойство отрицательной степени…

\(2^x=2^1\)                     \(2^x=2^{-1}\)

…и дорешиваем до ответа.

\( x_1=1\)                      \( x_2=-1\)

\(5^{x+7}=3^{x+7}\)

Здесь у нас не получиться ни пятерку превратить в тройку, ни наоборот (по крайней мере, без использования логарифмов). А значит мы не можем прийти к виду \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\). При этом показатели одинаковы.
Давайте поделим уравнение на правую часть, то есть на \(3^{x+7}\) (мы можем это делать, так как знаем, что тройка ни в какой степени не будет нулем).

\(\frac{5^{x+7}}{3^{x+7}}\)\(=\)\(\frac{3^{x+7}}{3^{x+7}}\)

Теперь вспоминаем свойство \((\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}\) и используем его слева в обратном направлении. Справа же просто сокращаем дробь.

\((\frac{5}{3})^{x+7}\)\(=1\)

Казалось бы, лучше не стало. Но вспомните еще одно свойство степени: \(a^0=1\), иначе говоря: «любое число в нулевой степени равно \(1\)». Верно и обратное: «единица может быть представлена как любое число в нулевой степени». Используем это, делая основание справа таким же как слева.

\((\frac{5}{3})^{x+7}\)\(=\)  \((\frac{5}{3})^0\)

Вуаля! Избавляемся от оснований.

\(x+7=0\)

Пишем ответ.

\(7^{ 2x-4}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)

Уравнение выглядит совсем печально… Мало того, что основания нельзя свести к одинаковому числу (семерка ни в какой степени не будет равна \(\frac{1}{3}\)), так еще и показатели разные… Однако давайте в показателе левой степени вынесем за скобку двойку.

\(7^{ 2(x-2)}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)

Помня свойство \((a^b )^c=a^{b·c}\) , преобразовываем слева:
\(7^{2(x-2)}=7^{2·(x-2)}=(7^2 )^{x-2}=49^{x-2}\).

\(49^{x-2}=(\frac{1}{3})^{-x+2}\)

Теперь, вспоминая свойство отрицательной степени \(a^{-n}=\frac{1}{a}^n\), преобразовываем справа: \((\frac{1}{3})^{-x+2}=(3^{-1})^{-x+2}=3^{-1(-x+2)}=3^{x-2}\)

\(49^{x-2}=3^{x-2}\)

Аллилуйя! Показатели стали одинаковы!
Действуя по уже знакомой нам схеме, решаем до ответа.