Логарифмические уравнения. Как решать логарифмические уравнения?

Логарифмическими называют уравнения, в которых выражения с неизвестными (иксами) стоят внутри логарифмов.


Примеры:

\(\log_{2}{⁡x} = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡{(x^2-3)}=\log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10=11 \lg⁡{(x+1)}\)



Как решать логарифмические уравнения:

При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), после чего сделать переход к \(f(x)=g(x)\).
\(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\)     \(⇒\)     \(f(x)=g(x)\).


Пример:                                       \(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Проверка: \(10>2\) - подходит по ОДЗ
Ответ: \(x=10\)

ОДЗ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)




Очень важно! Этот переход можно делать только если:

- вы написали ОДЗ для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные корни в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

-  число (или выражение) в основании логарифмов слева и справа одинаково;

- логарифмы слева и справа - «чистые», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.

Например:

1)  \(\log_3⁡{(x^2-3)}=\log_3⁡{(2x)}\)
\(x^2-3=2x\)
\(x^2-2x-3=0\)
\(x_1=3;\)        \(x_2=-1.\)

Не написали ОДЗ и не проверили корни на соответствие ОДЗ. Уравнение решено неверно.

2) \(\log_5⁡{(x-7)}=\log_3⁡{4}\)

 

Основания логарифмов разные, переход к \(x-7=4\) невозможен.

3) \(\log_6⁡{(x-2)}-\log_6⁡{x} = \log_6{⁡2x}\)

Логарифмы не «чистые», так как слева есть разность логарифмов. Переход к \((x-2)-x=2x\) невозможен.

4) \(\log_2{⁡(x^2-24)}=-\log_2⁡{x}\)

 

Логарифмы не «чистые» т.к. справа есть минус перед логарифмом. Переход к \(x^2-24=-x\) невозможен.

Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.



Пример. Решить уравнение \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Решение:


Напишем ОДЗ: \(x>0\).

\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)       ОДЗ:  \(x>0\)

 

Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени \(x\) по свойству: \(n \log_b{⁡a}=\log_b⁡{a^n}\). Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a{⁡bc}\)

\(\log_8⁡{x^2}=\log_8⁡25\)

Мы привели уравнение к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду \(f(x)=g(x)\).

\(x^2=25\)

 

Получилось  неполное квадратное уравнение. Решаем его и получаем корни.

\(x_1=5\)            \(x_2=-5\)

 

Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в неравенство \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(5\) и \(-5\). Эту операцию можно выполнить устно.

\(5>0\),               \(-5>0\)

 

Первое неравенство верное, второе – нет. Значит \(5\) – корень уравнения, а вот \(-5\) – нет. Записываем ответ.

Ответ:   \(5\)


Пример: Решить уравнение \(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\)

Решение:


Напишем ОДЗ: \(x>0\).

\(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\)       ОДЗ:  \(x>0\)

 

Типичное уравнение, решаемое с помощью замены переменных. Заменяем \(\log_2⁡x\) на \(t\).

\(t=\log_2⁡x\)

\(t^2-3t+2=0\)

 

Получили обычное квадратное уравнение. Ищем его корни.

\(t_1=2\)            \(t_2=1\)

 

Делаем обратную замену

\(\log_2{⁡x}=2\)            \(\log_2{⁡x}=1\)

 

Преобразовываем правые части, представляя их как логарифмы: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\)  и   \(1=\log_2⁡2\)

\(\log_2{⁡x}=\log_2⁡4\)           \(\log_2{⁡x}=\log_2⁡2 \)

 

Теперь наши уравнения имеют вид \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), и мы можем выполнить переход к \(f(x)=g(x)\).

\(x_1=4\)            \(x_2=2\)

 

Проверяем соответствие корней ОДЗ. Для этого в неравенство \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(4\) и \(2\).

\(4>0\)            \(2>0\)

 

Оба неравенства верны. Значит и \(4\) и \(2\) корни уравнения.    

Ответ:   \(4\); \(2\).


Смотрите также:
Логарифмические неравенства


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*