Квадратные уравнения (8 класс)

Примеры:

\(3x^2-26x+5=0\)
\((4-x)(4x-3)=3\)
\(\frac{x^2}{2}\)\(+\) \(\frac{2x}{3}\)\(=\)\(\frac{x-2}{6}\)

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Левая часть уравнения, то есть выражение \(ax^2+bx+c\), является квадратным трехчленом.

Виды квадратных уравнений

Полное квадратное уравнение \(6x^2-x-2=0\) \(x^2-4x+3=0\) \(\frac{x^2}{2}-3x+1=0\)

Неполное квадратное уравнение \(5x^2=0\) \(x^2-25=0\) \(\frac{1}{2}x^2-x=0\)

Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных - смотрите здесь.

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения: 

1. Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

2. Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
   Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

3. Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

4. Вычислить корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)   и   \(x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).
   

Примеры:

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

\(2x(1+x)=3(x+5)\)		Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Сначала раскрываем скобки.
\(2x+2x^2=3x+15\)		Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак...
\(2x+2x^2-3x-15=0\)		…и приводим подобные слагаемые.
\(2x^2-x-15=0\)		Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.
\(a=2\),      \(b=-1\),     \(c=-15\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=(-1)^2-4·2·(-15) =1+120=121\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1+11}{4}=3\) \(x_2=\frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1-11}{4}=-2,5\)		Записываем ответ:

Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).

Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:

\(x^2+9=6x\)		Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).
\(x^2-6x+9=0\)		Выпишем коэффициенты.
\(a=1\),      \(b=-6\),   \(c=9\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=(-6)^2-4·1·9=36-36=0\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6+0}{2}=3\) \(x_2=\frac{-(-6) - \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6-0}{2}=3\)		В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.

Ответ: \(x=3\).

Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:

\(3x^2+x+2=0\)		Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.
\(a=3\),    \(b=1\),   \(c=2\)		Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
\(D=1^2-4·3·2=1-24=-23\)		Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).
\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\) \(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)		Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.

Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).

Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.

Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).

Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).

Примеры решения полных, неполных и приведенных квадратных уравнений

Смотрите также:
Квадратные уравнения (шпаргалка)