Квадратные уравнения (8 класс)

Уравнение называют квадратным, если его можно записать в виде \(ax^2+bx+c=0\), где \(x\) неизвестная, \(a\), \(b\) и \(с\) коэффициенты (то есть, некоторые числа, причем \(a≠0\)).

Примеры:

\(3x^2-26x+5=0\)
\((4-x)(4x-3)=3\)
\(\frac{x^2}{2}\)\(+\) \(\frac{2x}{3}\)\(=\)\(\frac{x-2}{6}\)

В первом примере \(a=3\), \(b=-26\), \(c=5\). В двух других \(a\),\(b\) и \(c\) не выражены явно. Но если эти уравнения преобразовать к виду \(ax^2+bx+c=0\), они обязательно появятся.

Коэффициент \(a\) называют первым или старшим коэффициентом, \(b\) – вторым коэффициентом, \(c\) – свободным членом уравнения.


Левая часть уравнения, то есть выражение \(ax^2+bx+c\), является квадратным трехчленом.



Виды квадратных уравнений

Если в квадратном уравнении присутствуют все три его члена, его называют полным. В ином случае уравнение называется неполным.

Полное квадратное уравнение
\(6x^2-x-2=0\)
\(x^2-4x+3=0\)
\(\frac{x^2}{2}-3x+1=0\)

Неполное квадратное уравнение
\(5x^2=0\)
\(x^2-25=0\)
\(\frac{1}{2}x^2-x=0\)





Как решать квадратные уравнения

В данной статье мы рассмотрим вопрос решения полных квадратных уравнений. Про решение неполных - смотрите здесь.

Итак, стандартный алгоритм решения полного квадратного уравнения
  1. Преобразовать уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

  2. Выписать значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\).
    Пока не отработали решение квадратных уравнений до автоматизма, не пропускайте этот этап! Особенно обратите внимание, что знак перед членом берется в коэффициент. То есть, для уравнения \(2x^2-3x+5=0\), коэффициент \(b=-3\), а не \(3\).

  3. Вычислить значение дискриминанта по формуле \(D=b^2-4ac\).

  4. Вычислить корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)   и   \(x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).


Примеры:

Решите квадратное уравнение \(2x(1+x)=3(x+5)\)
Решение:

\(2x(1+x)=3(x+5)\)

Равносильными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Сначала раскрываем скобки.

\(2x+2x^2=3x+15\)

Теперь переносим все слагаемые влево, меняя знак...

\(2x+2x^2-3x-15=0\)

…и приводим подобные слагаемые.

\(2x^2-x-15=0\)

Уравнение приняло нужный нам вид. Выпишем коэффициенты.

\(a=2\),      \(b=-1\),     \(c=-15\)

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

\(D=(-1)^2-4·2·(-15) =1+120=121\)

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1+11}{4}=3\) \(x_2=\frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2·2}=\frac{1-11}{4}=-2,5\)

Записываем ответ:

Ответ: \(x_1=3\), \(x_2=-2,5\).


Решите квадратное уравнение \(x^2+9=6x\)
Решение:

\(x^2+9=6x\)

Тождественными преобразованиями приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\).

\(x^2-6x+9=0\)

Выпишем коэффициенты.

\(a=1\),      \(b=-6\),   \(c=9\)

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

\(D=(-6)^2-4·1·9=36-36=0\)

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\frac{-(-6) + \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6+0}{2}=3\) \(x_2=\frac{-(-6) - \sqrt{0}}{2·1}=\frac{6-0}{2}=3\)

В обоих корнях получилось одинаковое значение. Нет смысла писать его в ответ два раза.


Ответ: \(x=3\).


Решите квадратное уравнение \(3x^2+x+2=0\)
Решение:

\(3x^2+x+2=0\)

Уравнение сразу дано в виде \(ax^2+bx+c=0\), преобразования не нужны. Выписываем коэффициенты.

\(a=3\),    \(b=1\),   \(c=2\)

Найдем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).

\(D=1^2-4·3·2=1-24=-23\)

Найдем корни уравнения по формулам \(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1=\frac{-1 + \sqrt{-23}}{2·3}\)
\(x_2=\frac{-1- \sqrt{-23}}{2·3}\)

Оба корня невычислимы, так как арифметический квадратный корень из отрицательного числа не извлекается.

Ответ: нет корней.


Обратите внимание, в первом уравнении у нас два корня, во втором – один, а в третьем – вообще нет корней. Это связано со знаком дискриминанта (подробнее смотри тут).



Также многие квадратные уравнения могут быть решены с помощью обратной теоремы Виета. Это быстрее, но требует определенного навыка.


Пример. Решить уравнение \(x^2-7x+6=0\).
Решение: Согласно обратной теореме Виета, корнями уравнения будут такие числа, которые в произведении дадут \(6\), а в сумме \(7\). Простым подбором получаем, что эти числа: \(1\) и \(6\). Это и есть наши корни (можете проверить решением через дискриминант).
Ответ: \(x_1=1\), \(x_2=6\).


Данную теорему удобно использовать с приведенными квадратными уравнениями, имеющими целые коэффициенты \(b\) и \(c\).




Примеры решения полных, неполных и приведенных квадратных уравнений

примеры решения разных видов квадратных уравнений

Смотрите также:
Квадратные уравнения (шпаргалка)

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*