Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений

Равносильными называют уравнения,  имеющие одни и те же корни. Равносильными считаются также уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Примеры: 

  • Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
  •  Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) - ни одно из них не имеет корней.
  •  А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).


Равносильные преобразования уравнений - это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.



Основные равносильные преобразования уравнений:

  1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой  знака слагаемого на противоположный.

    \(4x-1=7\)
    \(4x=7+1\)


  2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.

    \(4x=8\)   \(|:4\)
    \(x=2\)          

    \(x(x^2+1)=x^2+1\)    \(|:(x^2+1)\)
    \(x=1\)                        


  3. Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.

    \((x+1)^2=4\)
    \(x^2+2x+1=4\)

    \(5^{x+1}=25\)
    \(5^{x+1}=5^2\)


  4. Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.

    \(\sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2\)
    \(12x^2-28x+8=8\)


  5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.

    \((x-5)^3=(2x+4)^3\)
    \(x-5=2x+4\)


  6. Переход вида: \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\), если \(a>1\) и \(a≠1\).

    \(5^{x^2-2x}=5^{x-2}\)
    \(x^2-2x=x-2\)




Равносильные уравнения и уравнения следствия

Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:

Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.

Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3\)

\(x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3\)

Запишем  ОДЗ.

ОДЗ: \(2-x≥0\)
\(x≤2\)

Перенесем оба слагаемых из правой части в левую.

\(x^2-2x+\sqrt{2-x}-\sqrt{2-x}-3=0 \)

Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного.

\(x^2-2x-3=0\)

Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета

\(x_1=3\)       \(x_2=-1\)

Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие.

\(↑\) не подходит под ОДЗ

Запишем ответ.

Ответ: \(-1 \).

Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ

Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.

a) \(x+5=2x-3\)
    \(x-2x+5=-3\)

b) \(x^2+3x+\sqrt{x}=\sqrt{x}+4\)
   \(x^2+3x-4=0\)

c) \(\frac{-x-1}{x^2-1}=0\)
\(-x-1=0\)

d) \(x^3=27\)
\(x=3\)

e) \(\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x\)
\(x^2+2=2x^3-2x\)

f) \( 2^{x+2}=2\)
\(x+2=1\)


Решение:

В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.

В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt{x}\) «ушло», то ОДЗ расширилось;

В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;

В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;

В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;

В пункте f) перешли от вида \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.


Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*