Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений
Примеры:
- Уравнения \(x+2=7\) и \(2x+1=11\) равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень – число \(5\).
- Равносильны и уравнения \(x^2+1=0\) и \(2x^2+3=1\) - ни одно из них не имеет корней.
- А вот уравнения \(x-6=0\) и \(x^2=36\) неравносильны, поскольку первое имеет только один корень \(6\), второе имеет два корня: \(6\) и \(-6\).
Равносильные преобразования уравнений - это такие преобразования, которые приводят нас к равносильным уравнениям.
Основные равносильные преобразования уравнений:
- Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую со сменой знака слагаемого на противоположный.
\(4x-1=7\)
\(4x=7+1\) -
Умножение или деление обеих частей уравнения на одно число или выражение не равное нулю.
\(4x=8\) \(|:4\)
\(x=2\)\(x(x^2+1)=x^2+1\) \(|:(x^2+1)\)
\(x=1\)
-
Применение всех формул и свойств, которые есть в математике.
\((x+1)^2=4\)
\(x^2+2x+1=4\)\(5^{x+1}=25\)
\(5^{x+1}=5^2\)
- Возведение в нечетную степень обеих частей уравнения.
\(\sqrt[3]{12x^2-28x+8}=2\)
\(12x^2-28x+8=8\)
- Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения.
\((x-5)^3=(2x+4)^3\)
\(x-5=2x+4\) -
Переход вида: \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\), если \(a>1\) и \(a≠1\).
\(5^{x^2-2x}=5^{x-2}\)
\(x^2-2x=x-2\)
Равносильные уравнения и уравнения следствия
Равносильные преобразования уравнений можно назвать «правильными» или «безошибочными» преобразованиями, потому что, сделав их, вы не нарушите математических законов. Почему тогда математики так их и не назвали: «правильные преобразования уравнений»? Потому что есть еще «полу-правильные» преобразования уравнений. В них уравнение при преобразовании приобретает дополнительные корни по ходу решения, но лишние корни мы при записи ответа не учитываем. Строгие математики их называют уравнениями следствиями:
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения, но при этом у второго также есть корни не подходящие первому, то второе уравнение является следствием второго.
Пример (ОГЭ). Решите уравнение \(x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3\)
|
\(x^2-2x+\sqrt{2-x}=\sqrt{2-x}+3\) |
Запишем ОДЗ. |
|
ОДЗ: \(2-x≥0\) |
Перенесем оба слагаемых из правой части в левую. |
|
\(x^2-2x+\sqrt{2-x}-\sqrt{2-x}-3=0 \) |
Взаимно уничтожим подобные слагаемые. Это и есть «полу-правильное преобразование», так как после него у уравнения становится два корня вместо изначального одного. |
|
\(x^2-2x-3=0\) |
Это уравнение следствие из предыдущего. Найдем корни уравнения по теореме Виета. |
|
\(x_1=3\) \(x_2=-1\) |
Сверяем корни с ОДЗ и исключаем неподходящие. |
|
\(↑\) не подходит под ОДЗ |
Запишем ответ. |
Ответ: \(-1 \).
Переходить к уравнению следствию не запрещено, но при работе с ними нужно быть осторожным и не забывать про ОДЗ.
Пример. В каких пунктах применялись равносильные преобразования, а в каких был переход к уравнению следствию? Укажите какие виды равносильных преобразований применялись.
|
a) \(x+5=2x-3\) |
b) \(x^2+3x+\sqrt{x}=\sqrt{x}+4\) |
|
c) \(\frac{-x-1}{x^2-1}=0\) |
d) \(x^3=27\) |
|
e) \(\frac{1}{2}x^2+1=x^3-x\) |
f) \( 2^{x+2}=2\) |
Решение:
В пункте a) применялось равносильное преобразование 1.
В пункте b) перешли к уравнению следствию, так как \(\sqrt{x}\) «ушло», то ОДЗ расширилось;
В пункте с) тоже перешли к уравнению следствию, из-за того что умножили на знаменатель;
В пункте d) применялось равносильное преобразование: «Извлечения корня нечетной степени из обеих частей уравнения»;
В пункте e) умножили обе части уравнения на \(2\) т.е. равносильно преобразовали;
В пункте f) перешли от вида \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) к виду \(f(x) =g(x)\), что тоже является равносильным преобразованием.
Смотри также:
Равносильное преобразование неравенств
Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте
Хочу задать вопрос