Что такое корень уравнения

Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно \(x\)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.

Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\) находим ответ: \(x=3\). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа: 

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.

Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная, а корень – это число, которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.


Пример: Является ли \(5\) корнем уравнения \(x^{2}-2x-15=0\)?
Решение: Подставим \(5\) вместо икса:

\(5^{2}-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

По обе стороны от равно - одинаковые значения (ноль), значит 5 действительно корень.

Матхак: на контрольных таким способом можно проверить верно ли вы нашли корни.


Пример: Какое из чисел \(0, \pm1, \pm2\), является корнем для \(2x^{2}+15x+22=0\)?
Решение: Проверим подстановкой каждое из чисел:

проверяем \(0\):     \(2\cdot0^{2}+15\cdot0+22=0\)

    \(0+0+22=0\) 

    \(22=0\) - не сошлось, значит \(0\) не подходит
проверяем \(1\):     \(2\cdot1^{2}+15\cdot1+22=0\)

    \(2+15+22=0\)

    \(39=0\) - опять не сошлось, то есть и \(1\) не корень

проверяем \(-1\):     \(2\cdot(-1)^{2}+15\cdot(-1)+22=0\)

    \(2-15+22=0\)

    \(9=0\) - снова равенство неверное, \(-1\) тоже мимо


 проверяем \(2\):     \(2\cdot2^{2}+15\cdot2+22=0\)

    \(2\cdot4+30+22=0\)

    \(60=0\) - и вновь не то, \(2\) также не подходит


  проверяем \(-2\):     \(2\cdot(-2)^{2}+15\cdot(-2)+22=0\)
      \(2\cdot4-30+22=0\)

    \(0=0\) - сошлось, значит \(-2\) - корень уравнения

Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований, для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.




Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень - ноль. Можете проверить подстановкой.


Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. Яркий примером тут может быть уравнение \(0\cdot x=5\). Это уравнение не имеет корней, так как значение икса здесь не играет роли (из-за умножения на ноль) - все равно левая часть будет всегда равна нулю. А ноль не равен пятерке. Значит, корней нет.


Вопрос: Как составить уравнение так, чтоб корень этого уравенения был равен некоторому заданному числу (например, тройке)?
Ответ: появится позже.


Вопрос: Что значит «найдите меньший корень уравнения»?
Ответ: Это значит, что нужно решить уравнение, и в ответ указать его меньший корень. Например, уравнение \(x^2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*