Линейные уравнения
Линейные уравнения – уравнения, которые можно представить в виде \(ax+b=0\), где \(a\) и \(b\) – какие-либо числа.
Проще говоря, это такие уравнения, в которых переменные (обычно иксы) в первой степени. При этом не должно быть переменных в знаменателях дробей.
Например: |
\(2x+7=0\) |
Здесь \(a=2, b=7\) |
||
\(5=0\) |
А тут \(a=0, b=5\) (пояснение: данное уравнение может быть представлено в виде \(0\cdot x+5=0\)) |
|||
\(-7(5-3y)=91\) |
Здесь \(a\) и \(b\) изначально не определены, но преобразовав уравнение, мы сможем их найти. |
|||
\(\frac{x+2}{3}\)\(+x=1-\)\(\frac{3}{4}\)\(x\) |
Тоже самое, \(a\) и \(b\) пока что неизвестны. |
Решение линейных уравнений
При решении линейных уравнений, мы стремимся найти корень, то есть такое значение для переменной, которое превратит уравнение в правильное равенство.
В простых уравнениях корень очевиден сразу или легко находиться подбором. Например, понятно, что корнем уравнения \(x+3=5\) будет число \(2\), ведь именно двойка при подстановке ее вместо икса даст \(5=5\) – верное равенство.
Однако в более сложных случаях ответ сразу не виден. И тогда на помощь приходят равносильные преобразования.
Чтобы найти корень уравнения нужно равносильными преобразования привести данное нам уравнение к виду
\(x=[число]\)
Это число и будет корнем.То есть, мы преобразовываем уравнение, делая его с каждым шагом все проще, до тех пор, пока не сведем к совсем примитивному уравнению «икс = число», где корень – очевиден. Наиболее часто применяемыми при решении линейных уравнений являются следующие преобразования:
1. Прибавление или вычитание из обеих частей уравнения одинакового числа или выражения.
Например: прибавим \(5\) к обеим частям уравнения \(6x-5=1\)
\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)
Обратите внимание, что тот же результат мы могли бы получить быстрее – просто записав пятерку с другой стороны уравнения и поменяв при этом ее знак. Собственно, именно так и делается школьный «перенос через равно со сменой знака на противоположный».
2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одинаковое число или выражение.
Например: разделим уравнение \(-2x=8\) на минус два
\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)
Обычно данный шаг выполняется в самом конце, когда уравнение уже приведено к виду \(ax=b\), и мы делим на \(a\), чтобы убрать его слева.
3. Использование свойств и законов математики: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращение дробей и т.д.
Например: раскроем скобки в уравнении \(2(3+x)=4(3x-2)-5\)
\(6+2x=12x-8-5\)
Чаще всего при решении линейного уравнения приходиться делать несколько разных преобразований.
Пример. Решить линейное уравнение \(6(4-x)+x=3-2x\)
Решение:
\(6(4-x)+x=3-2x\) |
Раскрываем скобки |
|
\(24-6x+x=3-2x\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(24-5x=3-2x\) |
Прибавляем \(2x\) слева и справа |
|
\(24-5x+2x=3\) |
Вычитаем \(24\) из обеих частей уравнения |
|
\(-5x+2x=3-24\) |
Опять приводим подобные слагаемые |
|
\(-3x=-21\) |
Теперь делим уравнение на \(-3\), тем самым убирая коэффициент перед иксом в левой части. |
|
\(x=7\) |
|
Ответ: \(7\)
Ответ найден. Однако давайте его проверим. Если семерка действительно корень, то при подстановке ее вместо икса в первоначальное уравнение должно получиться верное равенство - одинаковые числа слева и справа. Пробуем.
Проверка:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)
Сошлось. Значит, семерка и в самом деле является корнем исходного линейного уравнения.
Не ленитесь проверять подстановкой найденные вами ответы, особенно если вы решаете уравнение на контрольной или экзамене.
Остается вопрос – а как определить, что делать с уравнением на очередном шаге? Как именно его преобразовывать? Делить на что-то? Или вычитать? И что конкретно вычитать? На что делить?
Ответ прост:
Ваша цель – привести уравнение к виду \(x=[число]\), то есть, слева икс без коэффициентов и чисел, а справа – только число без переменных. Поэтому смотрите, что вам мешает и делайте действие, обратное тому, что делает мешающий компонент.
Чтобы лучше это понять, разберем по шагам решение линейного уравнения \(x+3=13-4x\).
Давайте подумаем: чем данное уравнение отличается от \(x=[число]\)? Что нам мешает? Что не так?
Ну, во-первых, мешает тройка, так как слева должен быть только одинокий икс, без чисел. А что «делает» тройка? Прибавляется к иксу. Значит, чтобы ее убрать - вычтем такую же тройку. Но если мы вычитаем тройку слева, то должны вычесть ее и справа, чтобы равенство не было нарушено.
\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)
Хорошо. Теперь что мешает? \(4x\) справа, ведь там должны быть только числа. \(4x\) вычитается - убираем прибавлением.
\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)
Теперь приводим подобные слагаемые слева и справа.
\(5x=10\)
Уже почти готово. Осталось убрать пятерку слева. Что она «делает»? Умножается на икс. Поэтому убираем ее делением.
\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac{5x}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)
\(x=2\)
Решение завершено, корень уравнения – двойка. Можете проверить подстановкой.
Заметим, что чаще всего корень в линейных уравнениях только один. Однако могут встретиться два особых случая.
Особый случай 1 – в линейном уравнении нет корней.
Пример. Решить уравнение \(3x-1=2(x+3)+x\)
Решение:
\(3x-1=2(x+3)+x\) |
Раскроем скобки |
|
\(3x-1=2x+6+x\) |
Приведем подобные слагаемые |
|
\(3x-1=3x+6\) |
Перенесем члены с переменной влево, а просто числа - вправо, меняя при этом знаки |
|
\(3x-3x=6+1\) |
Опять приведем подобные слагаемые |
|
\(0=7\) |
Ну и при каком иксе ноль станет равен \(7\)? Ни при каком, тут икс вообще никак не влияет и не может «исправить» неверность получившегося равенства. Поэтому ответ – в этом линейном уравнении нет корней. |
Ответ: нет корней.
На самом деле, то, что мы придем к такому результату было видно раньше, еще когда мы получили \(3x-1=3x+6\). Вдумайтесь: как могут быть равны \(3x\) из которых вычли \(1\), и \(3x\) к которым прибавили \(6\)? Очевидно, что никак, ведь с одним и тем же выражением сделали разные действия! Понятно, что результаты будут отличаться.
Особый случай 2 – в линейном уравнении бесконечное количество корней.
Пример. Решить линейное уравнение \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)
Решение:
\(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\) |
Начинаем преобразовывать – раскрываем скобки |
|
\(8x+16-4=12x-4x+12\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(8x+12=8x+12\) |
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
|
\(8x-8x=12-12\) |
И вновь приводим подобные |
|
\(0=0\) |
Очевидно, что тут “подойдет” любое значение для икса, ведь он никак не влияет на полученное уравнение. И значит равенство всегда будет верным. |
Ответ: любое число.
Это, кстати, было заметно еще раньше, на этапе: \(8x+12=8x+12\). Действительно, слева и справа – одинаковые выражения. Какой икс ни подставь – будет одно и то же число и там, и там.
Более сложные линейные уравнения.
Исходное уравнение не всегда сразу выглядит как линейное, иногда оно «маскируется» под другие, более сложные уравнения. Однако в процессе преобразований маскировка спадает.
Пример. Найдите корень уравнения \(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\)
Решение:
\(2x^{2}-(x-4)^{2}=(3+x)^{2}-15\) |
Казалось бы, здесь есть икс в квадрате – это не линейное уравнение! Но не спешите. Давайте применим формулы сокращенного умножения |
|
\(2x^{2}-(x^{2}-8x+16)=9+6x+x^{2}-15\) |
Почему результат раскрытия \((x-4)^{2}\) стоит в скобке, а результат \((3+x)^{2}\) нет? Потому что перед первым квадратом стоит минус, который изменит все знаки. И чтобы не забыть об этом – берем результат в скобки, которую теперь раскрываем. |
|
\(2x^{2}-x^{2}+8x-16=9+6x+x^{2}-15\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(x^{2}+8x-16=x^{2}+6x-6\) |
Далее как обычно: «иксы – влево, числа – вправо», не забывая менять знаки. |
|
\(x^{2}-x^{2}+8x-6x=-6+16\) |
Опять приводим подобные. |
|
\(2x=10\) |
Вот так. Оказывается, исходное уравнение – вполне себе линейное, а иксы в квадрате не более чем ширма, чтоб нас запутать. :) Дорешиваем, деля уравнение на \(2\), и получаем ответ. |
Ответ: \(x=5\)
Пример. Решить линейное уравнение \(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)
Решение:
\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\) |
Уравнение не похоже на линейное, дроби какие-то... Однако давайте избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей – шестерку |
|
\(6\cdot\)\((\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(\frac{1}{3})\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\) |
Раскрываем скобку слева |
|
\(6\cdot\)\(\frac{x+2}{2}\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac{1}{3}\) \(=\) \(\frac{9+7x}{6}\)\(\cdot 6\) |
Теперь сокращаем знаменатели |
|
\(3(x+2)-2=9+7x\) |
Вот теперь похоже на обычное линейное! Дорешиваем его. Раскрываем скобки |
|
\(3x+6-2=9+7x\) |
Переносом через равно собираем иксы справа, а числа слева |
|
\(3x-7x=9-6+2\) |
Приводим подобные слагаемые |
|
\(-4x=5\) |
Ну и поделив на \(-4\) правую и левую часть, получаем ответ |
Ответ: \(x=-1,25\)
Смотрите также:
Линейная функция
Хочу задать вопрос
Спасибо
Потому что это будет уже уравнение другого типа - дробно-рациональное http://cos-cos.ru/math/151/
В решении таких уравнений есть свои нюансы. Поэтому чтоб не путаться математики отделяют один тип уравнений от другого.