Линейная функция

Функция называется линейной, если ее можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) -некоторые числа.

Примеры:

\(y=\frac{1}{3}x-5\)

  

\(k=\frac{1}{3}\), \(b=-5\)

\(y=2x\)

\(k=2\), \(b=0\)

\(y=8\)

\(k=0\), \(b=8\)

Функция не всегда сразу задана в виде \(y=kx+b\), иногда такой вид получится только после преобразований. Например, \(y=6(x-1)+10x\) - это линейная функция, потому что если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые мы получим \(y=16x-6\).

График линейной функции всегда представляет собой прямую линию – отсюда и название: «линейная функция».

Чтобы в этом убедиться построим графики функций \(y=2x\),     \(y=\frac{1}{3}x-5\),     \(y=8\).
    y=2x  y=1/3x+5  y=8

Если вы вдруг забыли, как строить графики, можете прочитать об этом здесь.




Как меняется график при разных \(k\)?

Чтобы определить, как влияет на график коэффициент  \(k\), построим несколько функций разными \(k\):  \(\frac{1}{3}\),\(-\frac{1}{3}\),\(2\),\(-2\) и \(0\). При этом во всех функциях сделаем \(b\) одинаковым (равным нулю), чтобы убрать его влияние.
То есть, построим графики для функций: \(y=\frac{1}{3}x\),    \(y=-\frac{1}{3}x\),     \(y=2x\),      \(y=-2x\),      \(y=0\).

как зависит функция от разных k. y=kx.

Заметьте, что при \(k=2\) и \(\frac{1}{3}\) - функция возрастает, а при \(k=-2\) и \(-\frac{1}{3}\) - убывает. На самом деле:

При любом \(k>0\) функция возрастает и при любом \(k<0\) - убывает. Когда же \(k=0\) - она не возрастает и не убывает, а идет параллельна оси \(x\) (или совпадает с ней).

Так же можно заметить, чем больше модуль \(k\), тем «круче» график.




Как по графику определить коэффициент k?

  1. Сначала определим, возрастает или убывает функция. Если возрастает – знак коэффициента \(k\) плюс, если убывает – минус.
  2. Дальше надо построить на прямой прямоугольный треугольник, так чтобы гипотенуза лежала на графике функции, а вершины треугольника совпадали с вершинами клеточек. Примерно вот так:

как определить k по графикукак определить k по графику

Чтобы определить значение \(k\) по модулю (то есть, без учета знака), надо вертикальную сторону треугольника поделить на горизонтальную. Можно использовать правило для запоминания: «стоячий бьет лежачего». В данных случаях \(|k|=\frac{AC}{BC}\). То есть на первом графике \(k=2\),а на втором \(k=-\frac{1}{4}\).




Как меняется график при разных значениях \(b\)?

Чтобы определить, как \(b\) влияет на график, построим несколько функций с разными \(b\): \(6\), \(2\), \(0\), \(-3\) и \(-8\). При этом \(k\) пусть во всех функциях будет равен \(2\).

как влияет b на график линейной функции

Не сложно заметить, что прямая либо поднимается на \(b\) (если \(b>0\)) либо опускается на \(|b|\) если
(\(b<0\)).




Как по графику функции определить значение \(b\)?

Очень просто - прямая пересекает ось \(y\) всегда в точке \(b\). Вы можете это увидеть на предыдущем графике.

Пример (ОГЭ): На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида  \(y=kx+b\). Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между гра­фи­ка­ми функ­ций и зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов \(k\) и \(b\).

A. определите k и bB.определите k и bC.определите k и b

Коэффициенты

1) \(k>0\),\(b>0\) 2) \(k<0\), \(b>0\) 3) \(k<0\), \(b<0\) 4) \(k>0\), \(b<0\)

Решение:
А. – функция убывает, поэтому \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 2).

B. - функция возрастает - \(k>0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится выше нуля, значит \(b>0\). Подходит вариант под цифрой 1).

C. – функция убывает - \(k<0\). Точка пересечения оси \(y\) и прямой находится ниже нуля, значит \(b<0\). Подходит вариант под цифрой 3).
Ответ: 213.




«Читерский» способ строить график линейной функции

Можно конечно строить график линейной функции по точкам, как описано здесь, но можно и быстрее, буквально в три шага:
  1. Отмечаем точку \(b\) на оси игреков.

  2. От неё идем вправо на количество клеточек равное знаменателю \(k\), и вверх на количество клеточек равное числителю \(k\) (если \(k>0\)) или вниз на тоже количество (если \(k<0\)).

  3. Проводим через эти две точки прямую.

Пример: Построить график функции \(y=3x+1\).

 

Шаг 1.

\(b=1\), поэтому отмечаем точку с этим значением на оси \(y\)

 

Шаг 2.

\(k=3\), а тройка это тоже самое, что \(\frac{3}{1}\). При этом \(k>0\). Поэтому идем вправо на единицу и вверх на \(3\). Ставим точку.

Шаг 3.

Проводим через эти две точки прямую.


просто способ строить график линейной функции      

простой способ строить       y=3x+1      



Пример: Построить график функции \(y=-\frac{1}{4} x-3\).

Шаг 1.

\(b=-3\) отмечаем точку с этим значением на оси \(y\).

 

Шаг 2.

\(k=-\frac{1}{4}\), \(k<0\),  числитель \(1\), знаменатель \(4\). Значит, идем вправо на \(4\) и вниз на единицу.

Шаг 3.

Проводим через эти две точки прямую.


простой способ         

построение линейной функции по 2 точкам         y=-1/4x+3        

Немного потренируйтесь и вы сами поймете, какой это классный способ строить линейную функцию.

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*