Модуль

Модулем положительного числа называют само это число; модулем отрицательного числа называют число, ему противоположное; модуль нуля равен нулю.
\(|a|=\begin{cases} a, \;\; если \;  a>0 \\ 0, \; если\;\; a=0\\ -a,\; если \;\;  a<0  \end{cases}\)

Второе название модуля – «абсолютное значение действительного числа».

Фактически модуль делает всё, что находится внутри него положительным. Поэтому чтобы правильно его раскрыть, необходимо сначала выяснить знак выражения внутри него:

- если подмодульное выражение положительно, модуль просто убирается. При этом само выражение не меняется.

модуль1.png

- если же оно отрицательно, то при снятии модуля перед подмодульным выражением надо добавить знак «минус», чтобы сделать его положительным.

модуль2.png


Об этом правиле нужно помнить при работе с более сложными выражениями или выражениями, содержащими переменные.

Пример. Раскрыть \(|\sqrt5-3|\)

Решение: Под модулем отрицательное выражение (т.к. \(\sqrt 5 \approx 2,24\), то есть меньше \(3\)). Значит, раскрывать модуль надо добавляя минус перед выражением:

модуль от иррационального числа

Ответ:   \(3-\sqrt 5\)


Пример. Раскрыть  \(|x^4+1|\)

Решение: т.к. \(x^4+1\) больше нуля при всех значениях \(x\), то \(|x^4+1|=x^4+1\).

Ответ: \( x^4+1\)


Пример. Вычислить значение выражения \(|7-x|-|x+3|\), при \(x>12\).

Решение: При любом \(x\) большем \(12\), первое подмодульное выражение будет отрицательно, а второе – положительно. Соответственно, первый модуль будет раскрываться с минусом, а второй – с плюсом (значит перед ним останется минус, который стоял перед ним до раскрытия):

\(|7-x|-|x+3|=-(7-x)-(x+3)=-7+x-x-3=-10\)

Ответ: \(-10\)



Геометрическое определение модуля

\(|a|\) - это расстояние от \(0\) до числа \(a\) на числовой оси

Пример. Чему равен \(|5|\)  и \(|-5|\)?

Представим числовую ось и отметим на ней точки \(5\) и \(-5\). Какое будет расстояние от нуля до этих точек? Очевидно \(5\).

геометрическое определение модуля.jpg

Значит ответ: \(|5|=5\),   \(|-5|=5\).

Так как модуль это расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом, то он всегда положителен.

Понимать легче второе определение, но практике удобнее использовать первое.



Решение простейших уравнений с модулем

Уравнения вида \(|f|=g\) решается с помощью перехода к совокупности   \( \left[ \begin{gathered}f= g\\  f=-g\end{gathered}\right.\) , при условии, что \(g≥0\).

Сначала об условии \(g≥0\). Откуда оно берется? Из определения модуля, ведь модуль всегда неотрицателен (то есть, положителен или равен нулю). Поэтому условие \(g≥0\) обязательно. Иначе уравнение не будет иметь решения.

Теперь о совокупности. Почему уравнение распадается на два? Давайте, к примеру, рассмотрим уравнение \(|x|=3\). Какое число под модулем будет равно \(3\)? Конечно \(3\) и \(-3\), потому что \(|3|=3\), \(|-3|=3\). Корни уравнения \(|x|=3\): \(3\) и \(-3\). Логично? Логично! В общем виде получается, что подмодульное выражение \(f\) должно быть равно \(g\) и \(-g\). Иначе равенство не получится.


Пример.  Решить уравнение:

\(|x-1|=3x\)

Найдем ограничения уравнения. Запишем его немного правее от основного решения

                               \(3x≥0\)
                               \(x≥0\)

 

Когда ограничение записано -  можно со спокойной душой решать уравнение. Избавимся от модуля и перейдем к совокупности уравнений

\( \left[ \begin{gathered}x-1=3x\\ x-1=-3x\end{gathered}\right.\)

 

Перед нами 2 линейных уравнения. Решаем их с помощью известного заклинания: «иксы влево, числа вправо»

\( \left[ \begin{gathered}x-3x=1\\ x+3x=1\end{gathered}\right.\)

 

Приведем подобные слагаемые

\( \left[ \begin{gathered}-2x=1\\ 4x=1\end{gathered}\right.\)


Поделим первое уравнение на \(-2\), второе на \(4\).

\( \left[ \begin{gathered} x=-\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{4}\end{gathered}\right.\)


Корень \(-\)\(\frac{1}{2}\) – не подходит, т.к. \(x≥0\). Остается корень \(\frac{1}{4}\), его и запишем в ответ

Ответ:  \(\frac{1}{4}\)



Решение простейших неравенств с модулем

Неравенство вида \(|f|< c\) решается с помощью перехода к двойному неравенству   \( -c< f< c\) , при условии, что \(c>0\).

Начнем опять с условия. Почему \(c>0\)? Потому что, иначе неравенство не будет иметь решения. Здесь все также как в уравнениях. В самом деле, когда, например, модуль икса меньше \(-7\)? Никогда!

Теперь разберем неравенство \(|x|<3\). Какие иксы нам подойдут? Все от \(-3\) до \(3\). Иначе говоря, икс должен лежать между \(-3\) и \(3\). Это утверждение можно записать вот так \(-3< x <3\) либо системой \(\begin{cases}x<3\\x > -3\end{cases}\). В любом случае ответ будет \(xϵ (-3;3)\).

Неравенство вида \(|f|>c\) решается с помощью перехода к совокупности неравенств \( \left[ \begin{gathered} f>c\\ f< -c\end{gathered}\right.\), при условии, что \(c≥0\).

А здесь почему \(c≥0\)? Потому что иначе решать нечего: если \(c\) отрицательно, то модуль абсолютно любого икса нам подойдет. И значит ответ, икс – любое число.

Теперь о переходе. Рассмотрим неравенство \(|x|>3\). Какие иксы нам подойдут? Все, модуль которых больше трех, то есть от минус бесконечности до \(-3\) и от \(3\) до плюс бесконечности. Записывая системой получим \(\begin{cases}x>3\\x < -3\end{cases}\). Ответ будет \(x ϵ (-∞;-3)⋃(3;∞)\).

\(|3x-7|≤8\)

\(|3x-11|≥11\)

\(-8≤3x-7≤8\) \(|+7\)

\( \left[ \begin{gathered}3x-11≥11\\ 3x-11≤-11\end{gathered}\right.\)

\(-1≤3x≤15\)

 

\( \left[ \begin{gathered}3x≥22\\ 3x≤0\end{gathered}\right.\)

\(-\frac{1}{3}≤x≤5\)

 

\( \left[ \begin{gathered}x≥\frac{22}{3}\\ x≤0\end{gathered}\right.\)

Ответ: \([ -\frac{1}{3};5]\)

 

Ответ: \( (-\infty;0]\cup [ \frac{22}{3};\infty)\)

Смотрите также:
Свойства модуля



Хочу задать вопрос

*