Действительные числа

На самом деле, вы их уже давно знаете: вспомните любые известные вам числа, даже самые странные (если вы вдруг случайно вспомнили мнимые числа – забудьте их, они к действительным не относятся). Например:

\(-3\);    \(\sin⁡18^°\);    \(500\);    \(e^3\);    \(\sqrt{2}\);    \(\frac{7}{5}\);      \(1,66666\);      \(\log_5⁡3\);      \(\frac{π}{3}\)… .

Каждое из этих чисел - действительное. Вот вам доказательство:

\(-3=-3,00…\)                \(\sqrt{2}=1,414…\)
\(\sin⁡18^°=0,309…\)                \(\frac{7}{5}\)\(=1,40…\)
\(500=500,00…\)           \(\log_5⁡3=0,683…\)
\(e^3=20,085…\)                    \(\frac{π}{3}\)\(=1,047…\)

Как видите каждое можно представить в виде десятичной дроби, просто иногда это бесконечные десятичные дроби.

Кратко все возможные действительные числа записываются буквой \(R\). Еще один способ записи - интервалом \((-∞; +∞)\).  Такую запись  используют в уравнениях или неравенствах: вместо «ответом будет любое число» пишут «\(x∈R\)» или «\(x∈(-∞; +∞)\)».

На числовой оси множество действительных чисел выглядит так:

Иногда в задачах встречаются такие формулировки: «функция определена на множестве действительных чисел». По сути это означает «функция определена при любых \(x\)». То есть у функции нет ограничений. Чаще всего данная фраза не несет полезной информации для решения задачи, а написана для того, чтобы соблюсти математическую строгость.

В действительные числа входят все рациональные и все иррациональные числа. Вообще-то, кроме них в действительных числах больше ничего и нет. То есть, любое действительное число является либо рациональным, либо иррациональным. В свою очередь, любое рациональное или иррациональное число – является действительным.

Скачать статью