Рациональные и иррациональные числа

Пример:
\(4\) - рациональное число,т.к.его можно записать как \(\frac{4}{1}\);
\(0,0157304\) - тоже рациональное,т.к.его можно записать в виде \(\frac{157304}{10000000}\);
\(0,333(3)…\)-и это рациональное число: можно представить как \(\frac{1}{3}\);
\(\sqrt{\frac{3}{12}}\) - рациональное, так как можно представить как \(\frac{1}{2}\). Действительно, мы можем провести цепочку преобразований \(\sqrt{\frac{3}{12}}\)\(=\)\(\sqrt{\frac{1}{4}}\)\(=\) \(\frac{1}{2}\)

Невозможно, потому что это бесконечные дроби, да еще и непериодические. Поэтому нет таких целых чисел, которые бы поделившись друг на друга, дали бы иррациональное число.

Пример:
\(\sqrt{2}≈1,414213562…\) -иррациональное число;
\(π≈3,1415926… \) -иррациональное число;
\(\log_{2}{5}≈2,321928…\)-иррациональное число.

Пример (Задание из ОГЭ). Значение, какого из выражений является числом рациональным?
1) \(\sqrt{18}\cdot\sqrt{7}\);
2)\((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})\);
3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}\);
4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}\).

Решение:

Для понимания этого примера нужно знать, что такое квадратные корень, а также помнить его свойства.

1) \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{9\cdot 2\cdot 7}=3\sqrt{14}\) – корень из \(14\) взять нельзя, значит и представить число в виде дроби с целыми числами тоже нельзя, следовательно число иррационально.

2) \((\sqrt{9}-\sqrt{14})(\sqrt{9}+\sqrt{14})= (\sqrt{9}^2-\sqrt{14}^2 )=9-14=-5\) – корней не осталось, число легко представить в виде дроби, например такой \(\frac{-5}{1}\), значит оно рациональное.

3) \(\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{22}{2}}=\sqrt{\frac{11}{1}}=\sqrt{11}\) –корень нельзя извлечь - число иррациональное.

4) \(\sqrt{54}+3\sqrt{6}=\sqrt{9\cdot 6}+3\sqrt{6}=3\sqrt{6}+3\sqrt{6}=6\sqrt{6}\) – тоже иррациональное.

Ответ: \(2\).

Скачать статью