Арифметический квадратный корень (8 класс)
Арифметический квадратный корень из числа \(a\) – это такое число \(b\), возведение которого в квадрат даст \(a\).
\(\sqrt{a}=b\), если \(b^2=a\), где \(a≥0,b≥0\)
Примеры:
\(\sqrt{49}=7\), так как \(7^2=49\)
\(\sqrt{0,04}=0,2\),так как \(0,2^2=0,04\)
Как извлечь квадратный корень из числа?
Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?
Например. Извлеките корень: а)\(\sqrt{2500}\); б) \(\sqrt{\frac{4}{9}}\); в) \(\sqrt{0,001}\); г) \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)
а) Какое число в квадрате даст \(2500\)?
\(\sqrt{2500}=50\)
б) Какое число в квадрате даст \(\frac{4}{9}\)?
\(\sqrt{\frac{4}{9}}\)\(=\)\(\frac{2}{3}\)
в) Какое число в квадрате, даст \(0,0001\)?
\(\sqrt{0,0001}=0,01\)
г) Какое число в квадрате даст \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести смешанную дробь в неправильную.
\(\sqrt{1\frac{13}{36}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{6}\)
Замечание: Хотя \(-50\), \(-\frac{2}{3}\), \(-0,01\),\(- \frac{7}{6}\), тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.
Главное свойство корня
Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат - извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:
\((\sqrt{a})^2=a\)
Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)
Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}\)
Решение: \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \((\sqrt{85}-1)^2\)
Решение:
|
\((\sqrt{85}-1)^2=\) |
Раскроем скобку по формуле сокращенного умножения |
|
\(=(\sqrt{85})^2-2\sqrt{85}+1=\) |
Воспользуемся главным свойством квадратного корня |
|
\(=85-2\sqrt{85}+1=\) |
Приведем подобные слагаемые |
|
\(=86-2\sqrt{85}\) |
Запишем ответ |
Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие свойства.
Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}\)
Решение:
|
\(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}=\) |
Перемножим числа без корня, а числа с корнем запишем под одним знаком, по свойству: \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\) |
|
|
\(=10 \sqrt {11 \cdot 2 \cdot 22}=10\sqrt{(22)^2} \) |
Ответ: \(220\)
4 правила про которые всегда забывают
Корень не всегда извлекается
Пример: \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{53}\),\(\sqrt{200}\),\(\sqrt{0,1}\) и т.д. – извлечь корень из числа не всегда возможно и это нормально!
Корень из числа, тоже число
Не надо относится к \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{53}\), как-то особенно. Это числа, да не целые, да иррациональные, но не все в нашем мире измеряется в целых числах.
Корень извлекается только из неотрицательных чисел
Поэтому в учебниках вы не увидите вот таких записей \(\sqrt{-23}\),\(\sqrt{-1}\),и т.п.
Разные квадратные корни нельзя складывать или вычитать
Примеры:
Вместо этого нужно преобразовать выражение так, чтобы под корнями были одинаковые числа, тогда их можно будет складывать, и вычитать, как подобные слагаемые.
Примеры:
\(\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{4 \cdot 5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)
\(\sqrt{27}-\sqrt{3}=\sqrt{9 \cdot 3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)
Смотрите также: Свойства арифметического квадратного корня
Скачать статью
Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте
Хочу задать вопрос
4 плюс 2 корень из 3
минус под корнем 4 минус 2корень из 3
Или это нужно расписать отдельно и вычислить корень каждого?
В этом легко убедится простым вычислением "в лоб":
корень из (144+25) = корень из 169 = 13
"корень из 144"+"корень из 25" = 12+5 = 17