Арифметический квадратный корень (8 класс)

Арифметический квадратный корень из числа \(a\) – это такое число \(b\), возведение которого в квадрат даст \(a\).

\(\sqrt{a}=b\), если \(b^2=a\), где \(a≥0,b≥0\)


Примеры:

\(\sqrt{49}=7\), так как \(7^2=49\)
\(\sqrt{0,04}=0,2\),так как \(0,2^2=0,04\)

Как извлечь квадратный корень из числа?

Чтобы извлечь квадратный корень из числа, надо задать себе вопрос: какое число в квадрате даст выражение под корнем?

Например. Извлеките корень: а)\(\sqrt{2500}\); б) \(\sqrt{\frac{4}{9}}\); в) \(\sqrt{0,001}\); г) \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)

а) Какое число в квадрате даст \(2500\)?

\(\sqrt{2500}=50\)

б) Какое число в квадрате даст \(\frac{4}{9}\)?

\(\sqrt{\frac{4}{9}}\)\(=\)\(\frac{2}{3}\)

в) Какое число в квадрате, даст \(0,0001\)?

\(\sqrt{0,0001}=0,01\)

г) Какое число в квадрате даст \(\sqrt{1\frac{13}{36}}\)? Чтобы дать ответ на вопрос, нужно перевести смешанную дробь в неправильную.

\(\sqrt{1\frac{13}{36}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{6}\)

Замечание: Хотя \(-50\), \(-\frac{2}{3}\), \(-0,01\),\(- \frac{7}{6}\), тоже отвечают на поставленные вопросы, но их не учитывают, так как квадратный корень – всегда положителен.

Квадратный корень всегда положителен



Главное свойство корня

Как известно, в математике у любого действия есть обратное. У сложения – вычитание, у умножения – деление. Обратное действие возведению в квадрат - извлечение квадратного корня. Поэтому эти действия компенсируют друг друга:

\((\sqrt{a})^2=a\)

Это и есть главное свойства корня, которое чаще всего используется (в том числе и в ОГЭ)

Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}\)

Решение: \(\frac{(2\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot (\sqrt{6})^2}{36}=\frac{4 \cdot 6}{36}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)



Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \((\sqrt{85}-1)^2\)

Решение:

\((\sqrt{85}-1)^2=\)

Раскроем скобку по формуле сокращенного умножения

\(=(\sqrt{85})^2-2\sqrt{85}+1=\)

Воспользуемся главным свойством квадратного корня

\(=85-2\sqrt{85}+1=\)

Приведем подобные слагаемые

\(=86-2\sqrt{85}\)

Запишем ответ

Ответ: \(86-2\sqrt{85}\)

Конечно, при работе с квадратным корнем нужно использовать и другие свойства



Пример. (задание из ОГЭ). Найдите значение выражения \(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}\) 
Решение:

\(5\sqrt{11} \cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{22}=\) 

Перемножим числа без корня, а числа с корнем запишем под одним знаком, по свойству: \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a \cdot b}\)

\(=10 \sqrt {11 \cdot 2 \cdot 22}=10\sqrt{(22)^2} \)

Ответ: \(220\)




4 правила про которые всегда забывают


Корень не всегда извлекается


Пример: \(\sqrt{2}\),\(\sqrt{53}\),\(\sqrt{200}\),\(\sqrt{0,1}\) и т.д. – извлечь корень из числа не всегда возможно и это нормально!


Корень из числа, тоже число

Не надо относится к \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{53}\), как-то особенно. Это числа, да не целые, да иррациональные, но не все в нашем мире измеряется в целых числах.


Корень извлекается только из неотрицательных чисел

Поэтому в учебниках вы не увидите вот таких записей \(\sqrt{-23}\),\(\sqrt{-1}\),и т.п.


Разные квадратные корни нельзя складывать или вычитать

Примеры:

 корни нельзя складывать                                 квадратные корни нельзя вычитать


Вместо этого нужно преобразовать выражение так, чтобы под корнями были одинаковые числа, тогда их можно будет складывать, и вычитать, как подобные слагаемые.

Примеры:

\(\sqrt{20}+\sqrt{5}=\sqrt{4 \cdot 5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}\)

\(\sqrt{27}-\sqrt{3}=\sqrt{9 \cdot 3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)


Смотрите также:   Свойства арифметического квадратного корня


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*