Смешанная дробь. Действия со смешанными дробями

Математический словарь
Смешанная дробь. Действия со смешанными дробями

Смешанной называют дробь, имеющую целую и дробную части.

Записываются они как \(a\)\(\frac{m}{n}\), где – \(a\) целое число,\(\frac{m}{n}\) - правильная дробь.

Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\) здесь \(2\) – целая часть, \(\frac{3}{5}\) – дробная часть (правильная дробь).

\(17\)\(\frac{17}{18}\) здесь \(17\) – целая часть, \(\frac{17}{18}\) – дробная часть (правильная дробь).

Фактически такие дроби представляют собой сумму целого числа и дроби, то есть между целой и дробной частью стоит знак «плюс» (а не «умножить»).

Например: \(2\frac{3}{5}=2+\frac{3}{5}\)

Это не нужно заучивать, просто поймите суть. Вдумайтесь, что на практике означает, например, запись: «на складе осталось \(2\)\(\frac{3}{5}\) мешка муки»? Что на складе лежит два полных мешка и еще один заполненный на \(\frac{3}{5}\). Где здесь место умножению? Очевидно ведь, что это два плюс еще \(\frac{3}{5}\) мешка муки! Понимать этот момент очень важно, потому что здесь допускается огромное количество ошибок при вычислениях со смешанными дробями (см. ниже).

Превращение смешанной дроби в неправильную

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную нужно целую часть умножить на знаменатель дробной и прибавить к результату числитель - получиться числитель неправильной дроби. Знаменатель при этом не меняется. То есть,
\(a\)\(\frac{m}{n}\)\(=\)\(\frac{a·n + m}{n}\).

Например, при преобразовании \(2\)\(\frac{3}{5}\) получим \(\frac{2·5 + 3}{5}=\frac{13}{5}\).

Почему вычисление производиться именно так? Все дело в плюсе, стоящем между целой и дробной частью (см. выше). На самом деле, полное преобразование выглядит вот так:

Перевод из смешанной дроби в неправильную

Но расписывать все так подробно слишком долго, да и незачем, проще сразу получать ответ, пользуясь формулой выше.

Превращение неправильной дроби в смешанную

Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, в ней нужно выделить целую часть.

Чтобы этого добиться, мы задаем себе вопрос – сколько раз знаменатель целиком «помещается» в числителе?
Например, пусть нам нужно представить как смешанную дробь \(\frac{13}{5}\). Сколько раз пятерка «помещается» в тринадцати? Два раза. Третий раз уже «не влезет». Значит, целая часть будет равна двойке, а дробная – остатку, то есть \(\frac{3}{5}\). Оформляем: \(\frac{13}{5}\)\(=\)\(\frac{10 + 3}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)\(+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\). Вот еще примеры с верным преобразованием:

\(\frac{37}{11}\)\(=\)\(\frac{33 + 4}{11}\)\(=\)\(\frac{33}{11}\)\(+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3\)\(\frac{4}{11}\)
\(\frac{26}{3}\)\(=\)\(\frac{24 + 2}{3}\)\(=\)\(\frac{24}{3}\)\(+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8\)\(\frac{2}{3}\)

А вот пример неправильного выделения целой части:

\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{4 + 3}{2}\)\(=\)\(\frac{4}{2}\)\(+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2\)\(\frac{3}{2}\)

В чем ошибка? В том, что дробная часть должна быть правильной дробью. А здесь не так - значит целая часть выделена не полностью. Действительно, ведь двойка в семерке нацело помещается три раза, а не два. Поэтому верным будет вот такое выделение:

\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{6 + 1}{2}\)\(=\)\(\frac{6}{2}\)\(+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3\)\(\frac{1}{2}\)

Превращение смешанной дроби в десятичную

Чтобы преобразовать смешанную дробь в десятичную, нужно в дробной части поделить числитель на знаменатель, после чего сложить результат с целой частью.

Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+0,6=2,6\)
\(7\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+0,44=7,44\)

Отсюда вывод:

Смешанная дробь – обычное число, причем целая часть представляет собой то, что будет стоять до запятой, а дробная – после.

Наиболее частые ошибки при работе со смешанной дробью

Главной причиной большинства ошибок является забывание описанного выше момента – между целой и дробной частью стоит «плюс», а не «умножить».

Пример: Вычислить \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)
Ошибочное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=2\)\(\frac{3 · 5}{5 · 1}\)\(=2·3=6\)
Правильное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=(2+\)\(\frac{3}{5}\)\():\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{2·5+3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{13}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=\)\(\frac{13 · 5}{5 · 1}\)\(=13\)

Пример: Вычислить \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)
Ошибочное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=3·\)\(\frac{1}{5}\)\(·1·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3 · 1}{5 · 4}\)\(=\)\(\frac{3}{20}\)
Правильное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=(3+\)\(\frac{1}{5}\)\()·(1+\)\(\frac{1}{4}\)\()=\)\(\frac{3·5 + 1}{5}\)\(·\)\(\frac{1·4 + 1}{4}\)\(=\)\(\frac{16}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{4}\)\(=\)\(\frac{16 · 5}{5 · 4}\)\(=4\)

Из того, что целая и дробная части соединены знаком плюс следует еще один вывод:

Если перед смешанной дробью стоит знак минус, то он стоит и перед целой частью, и перед дробной.

Например: \(-7\) \(\frac{5}{9}\)\(=-(7+\) \(\frac{5}{9}\)\()=-7-\) \(\frac{5}{9}\).
Это важно помнить при вычитании смешанных дробей.

Пример. Вычислить \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\).
Решение: \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\)\(=(4+\)\(\frac{3}{5}\)\()-(2+\)\(\frac{1}{5}\)\()=4+\)\(\frac{3}{5}\)\(-2-\)\(\frac{1}{5}\)\(=4-2+\)\(\frac{3}{5}\)\(-\)\(\frac{1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3-1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{2}{5}\)\(=2\)\(\frac{2}{5}\).

Вообще вычитание (сложение) смешанных дробей удобно проводить в два этапа: сначала отдельно вычесть (сложить) целые части, а затем – дробные.

Смотрите также:
Дроби (шпаргалка)