Десятичная дробь. Действия с десятичными дробями

Десятичная дробь – это форма записи обыкновенной дроби, у которой знаменатель равен \(10\), \(100\), \(1000\) и т.д.

Пример:

Связь обыкновенных и десятичных дробей     0,111=111/1000     27/10=0,27

Запятая в десятичной дроби отделяет:
         1) целую часть от дробной;
         2) столько знаков, сколько нулей в знаменателе обыкновенной дроби.

4,527=4527/1000




Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?

Десятичную дробь можно представить как обыкновенную: для этого «прочитайте» десятичную дробь и запишите прочитанное в виде смешанной дроби.

Например, \(0,35\) читается как «ноль целых, тридцать пять сотых». Так и пишем: \(0 \frac{35}{100}\). Целая часть равна нулю, то есть ее можно просто не писать, а дробную часть – сократить на \(5\).
Получим: \(0,35=0\frac{35}{100}=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}\).
Еще примеры: \(2,14=2\frac{14}{100}=\frac{214}{100}=\frac{107}{50}\);
\(7,026=7\frac{26}{1000}=\frac{7026}{1000}\).

Этот переход можно делать и быстрее:

Запишите в числитель все число без запятой, а в знаменатель – единицу и столько нулей, столько цифр было отделено запятой.

Звучит сложно, поэтому смотрите картинку:

как перевести из десятичной в обыкновенную




Как обыкновенную дробь перевести в десятичную?

Для этого надо домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось \(10\), \(100\), \(1000\) и т.д., а потом записать результат в десятичном виде.

Примеры:        \(\frac{3}{5}\)\(=\)\(\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}\)\(=\)\(\frac{6}{10}\)\(=0,6\);        \(\frac{63}{25}\)\(=\frac{63 \cdot 4}{25\cdot 4}\)\(=\)\(\frac{252}{100}\)\(=2,52\);          \(\frac{7}{200}\)\(=\)\(\frac{7 \cdot 5}{200\cdot 5}\)\(=\)\(\frac{35}{1000}\)\(=0,035\).

Этот способ хорошо работает, когда в знаменателе дроби: \(2\), \(5\), \(20\), \(25\)… и т.д., то есть когда сразу понятно, на что надо домножать. Однако в остальных случаях:

Для превращения обыкновенной дроби в десятичную нужно поделить числитель дроби на ее знаменатель.

Например, дробь \(\frac{7}{8}\)  проще преобразовать делением \(7\) на \(8\), чем догадываться, что \(8\) можно домножить на \(125\) и получить \(1000\).

Далеко не все обыкновенные дроби без проблем превращаются в десятичные. Точнее, превращаются-то все, но вот записать результат такого превращения бывает весьма трудно. Например, дробь \(\frac{9}{17}\) в десятичном виде будет выглядеть как \(0,52941…\) - и так далее, бесконечный ряд неповторяющихся цифр. Такие дроби обычно оставляют в виде обыкновенных.

Однако некоторые дроби, дающие бесконечный ряд цифр в десятичном виде записаны быть могут. Так происходит в случае, если цифры в этом ряду повторяются. Например, дробь \(\frac{2}{3}\) в десятичном виде выглядит так \(0,66666…\) - бесконечный ряд шестерок. Ее записывают вот так: \(0,(6)\). Содержимое скобки – это как раз и есть бесконечно повторяющаяся часть (так называемый период дроби).

Еще примеры: \(\frac{100}{27}\)\(=\)\(3,7037037037…=3,(703)\).
                  \(\frac{579}{110}\)\(=5,2636363636…=5,2(63)\).




Виды десятичных дробей:

виды десятичных дробей




Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение (вычитание) десятичных дробей выполняется так же, как сложение (вычитание) натуральных чисел: главное, чтобы запятая во втором числе стояла под запятой в первом.

                      сложение дробей        вычитание десятичных            сложение десятичных          вычитание десятичных


Умножение десятичных дробей

Чтобы перемножить две десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Потом сложить количество знаков после запятой в первом числе и во втором, а затем отделить полученное количество знаков в итоговом числе, считая справа налево.

Лучше \(1\) раз посмотреть на картинку, чем \(10\) раз прочитать, поэтому наслаждайтесь:

как умножать десятичные числа




Деление десятичных дробей

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную дробь, надо перенести запятую во втором числе (делителе) до тех пор, пока оно не станет целым. Потом на столько же перенести запятую в первом числе (делимом). Затем нужно разделить получившиеся числа как обычно. При этом в ответе нужно будет не забыть поставить запятую сразу же, как мы «перейдем за запятую» в делимом.

Снова картинка объяснит принцип лучше любого текста.

деление десятичных

деление десятичных уголком

На практике бывает легче представлять деление как обыкновенную дробь, потом домножением числителя и знаменателя убирать запятые (или просто сразу передвигать запятые, как делали выше), а затем сокращать получившиеся числа.

\(13,12:1,6=\)\(\frac{13,12}{1,6}\)\(=\)\(\frac{13,12·100}{1,6·100}\)\(=\)\(\frac{1312}{160}\)\(=\)\(\frac{328}{40}\)\(=\)\(\frac{82}{10}\)\(=8,2\).



Пример. Вычислите \(0,0625:(\)\(\frac{1}{8}\)\(+\)\(\frac{5}{16}\)\()\cdot 2,8\).

Решение:

\(0,0625:(\)\(\frac{1}{8}\)\(+\)\(\frac{5}{16}\)\()\cdot 2,8=\)

                              

Приведем дроби в скобке к общему знаменателю и сложим: \(\frac{1}{8}\)\(+\)\(\frac{5}{16}\)\(=\)\(\frac{2}{16}\)\(+\)\(\frac{5}{16}\)\(=\)\(\frac{7}{16}\).

\(=0,0625:(\)\(\frac{7}{16}\)\()\cdot 2,8=\)

 

Поделим \(7\) на \(16\), то есть запишем полученную дробь в десятичном виде.

\(=0,0625:0,4375\cdot 2,8=\)

 

Представим знак деления как дробную черту и перенесем запятые на \(4\) знака вправо.

\(=\)\(\frac{625}{4375}\)\(\cdot 2,8=\)

 

Сократим дробь на \(625\).

\(=\)\(\frac{1}{7}\)\(\cdot 2,8=\)


Представим десятичную дробь \(2,8\) как обыкновенную и перемножим две дроби.

\(=\)\(\frac{1}{7}\)\(\cdot\)\(\frac{28}{10}\)\(=\)\(\frac{28}{70}\)\(=\)\(\frac{4}{10}\)\(=0,4\).


Ответ: \(0,4\).




Пример.Вычислите \(\frac{0,4 - 0,9}{0,5 + \frac{1}{3}}\).

Решение:

\(\frac{0,4 - 0,9}{0,5 + \frac{1}{3}}\)\(=\)

                              

В числителе сделаем вычитание. В знаменателе переведем \(0,5\) в обыкновенную дробь.

\(=\) \(\frac{- 0,5}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}\)\(=\)

 

С трехэтажными дробями работать неудобно, поэтому большую дробную черту представим как деление.

\(=\)\(- 0,5:\)\(({\frac{1}{2} + \frac{1}{3})}\)\(=\)

 

Приведем дроби в скобке к общему знаменателю…

\(=\) \(- 0,5:\)\(({\frac{3}{6} + \frac{2}{6})}\)\(=\)

 

…и сложим их.

\(=\)\(- 0,5:\)\(\frac{5}{6}\)\(=\)


Представим десятичную дробь в обыкновенном виде и заменим знак деления умножением, перевернув вторую дробь.

\(=-\)\(\frac{1}{2}\)\(\frac{6}{5}\)\(=-\)\(\frac{6}{10}\)\(=\)


Получим ответ, переведя дробь в десятичную.

\(=-0,6\).


Ответ: \(-0,6\).

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*