Функция

Разберем определение подробнее:

- Что значит «…зависимость переменной \(y\) от переменной \(x\)…»?

Наглядный пример: предположим, вы пришли в магазин купить конфеты, которые продаются вразвес и стоят по \(100\) рублей килограмм. Вопрос – сколько денег вы заплатите? Ответ: смотря сколько конфет купим! Действительно, купим два килограмма – заплатим \(200\) рублей, купим четыре с половиной – заплатим \(450\) рублей. То есть, цена покупки зависит от количества килограмм. Или, иначе говоря, цена покупки есть функция от количества купленных килограмм.

И если количество килограмм обозначить за \(x\), а цену покупки - за \(y\), то можно записать: \(y=100x\). Фактически, эта запись и есть функция. При этом понятно, что \(x\) изменяется по нашему желанию. Поэтому:

Игрек же меняется автоматически, не сам по себе, а потому что изменился \(x\). Поэтому:

                            

Эту связь между иксом и игреком можно пояснить такой аналогией: игрек – это телевизор, а икс – пульт от него. И если вы хотите, например, увеличить звук - вы не лезете внутрь телевизора и не пытаетесь вручную поменять напряжение в его резисторах, а просто нажимаете кнопку на пульте – и звук меняется. То есть звук поменялся не сам по себе, а потому что вы нажали кнопку. При этом с самим телевизором вы ничего не делали.

- Что значит «…каждому значению \(x\) соответствует только одно значение \(y\)»?
Если мы в полученную выше функцию \(y=100x\) поставим вместо икса, например, тройку, то получим, что игрек равен \(100·3=300\). И сколько бы раз мы не подставляли вместо икса тройку – мы всегда будем получать, что игрек равен \(300\). Мы никак не сможем получить другое значение игрека, если будем подставлять один и тот же икс. В этом и заключается смысл записи «каждому значению икса – только одно значение игрека».

Отметим, что игрек может быть одинаков для нескольких иксов. Например, функция \(y=x^2-6x+9\) имеет одинаковые значения игрека для икса равного \(1\) и для икса равного \(5\).

\(x=1\)      \(y=1^2-6·1+9=4\)
\(x=5\)      \(y=5^2-6·5+9=4\)

Однако это никак не противоречит сказанному выше: сколько бы мы не подставляли вместо икса \(1\) или \(5\) – мы всегда будем получать только «игрек равен \(4\)».

Вообще понятие функции гораздо шире рассмотренного выше, потому что функцией можно назвать не только «вычисления по формуле», но и любую зависимость элементов. При этом обязательно должно выполняться требование «одному иксу – один игрек». Для ясности приведем еще несколько примеров из жизни.

Например, зависимость типа «человек» - «рост человека» вполне можно считать функцией, потому что для каждого «икса» (то есть каждого отдельного человека) есть свой «игрек» (рост этого человека). Причем значение игрека (роста) определяется тем, какой икс (то есть какого именно человека) мы взяли, и это значение - только одно.

А вот зависимость типа «человек» - «хобби человека» уже не функция! Потому что требование «одному иксу – один игрек» здесь не выполняется, ведь у человека (икса) может быть и два, и три, и десять разных хобби (игреков).

Еще пример: вы шли по улице и нашли \(100\) рублей. Значит ли это, что пройдя по этой улице \(10\) раз, вы найдете \(1000\) рублей? Нет, не значит, потому что здесь нет зависимости между прогулкой и найденной суммой. Это случайность, а не функция.

Способы задания функции

Функция может задаваться:
- аналитически (в виде «формулы»):
например,          \(y=100x\) или \(y=x^2-6x+9\)

- таблично (таблица значений «икса» и соответствующих ему значений «игрека»):

например,

Имя ученика: Средний балл по математике: Васильева Татьяна 4,83 Сухарев Андрей 5,0 Якунин Василий 4,75

- графически (в виде графика):
например,
                                      

Зачастую одну и ту же функцию можно задать разными способами. Например, при построении графика мы как раз функцию, заданную аналитически, представляем в графическом виде.

Обратите внимание: на график функции требование «одному иксу – один игрек» также распространяется!

Это график функции, здесь каждому иксу соответствует свой игрек. Например, при \(x=-5\) игрек равен \(-2\), а при \(x=6\), игрек равен \(4\). Аналогично и для всех остальных значений икса.
А это не функция, а просто рисунок, так как здесь есть иксы, которым соответствует более одного игрека. Например, при \(x=2\), игрек равен сразу четверке, единице и минус трем.

Виды функций

В школьном курсе подробно изучаются следующие виды функций:

- Линейная (имеет график - прямая) -  все функции, приводимые к виду \(y=kx+b\), где \(k\) и \(b\) – числа. В этих функциях икс только в первой степени и нет переменных в знаменателях.		\(y=2x+1\)
- Квадратичная  (график - парабола) – функция имеет вид \(y=ax^2+bx+c\). Здесь обязательно есть икс в квадрате. А вот икс в первой степени или свободные члены \(c\) – могут отсутствовать.		\(y=x^2-2\)
- Обратной пропорциональности (график - гипербола) – задается формулой \(y=\) \(\frac{k}{x}\), причем \(k≠0\).		\(y=\)\(\frac{3}{x}\)

В старших классах также изучается степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции.

Смотрите также:
Как  построить  график функции
Виды графиков функций