Неравенства. Виды неравенств

Неравенства – выражения вида \(a>b\), \(a<b\), \(a\leq b\) и \(a\geq b\), где \(a\) и \(b\) – числа или выражения с переменной.

Например, неравенством является выражение \(x>5\).



Виды неравенств:

Если \(a\) и \(b\) – это числа или числовые выражения, то неравенство называется числовым. Фактически это просто сравнение двух чисел. Такие неравенства подразделяются на верные и неверные.

Например:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) - неверное числовое неравенство, так как \(17+3=20\), а \(20\) меньше \(115\) (а не больше или равно).


Если же \(a\) и \(b\) – это выражения, содержащие переменную, то у нас неравенство с переменной. Такие неравенства разделяют по типам в зависимости от содержимого:

\(2x+1\geq4(5-x)\)

         

- линейное

         

Переменная только в первой степени

\(3x^2-x+5>0\)

- квадратное

 

Есть переменная во второй степени (квадрате), но нет старших степеней (третьей, четвертой и т.д.)

\(\log_{4}{(x+1)}<3\)

 

- логарифмическое

 

Есть переменная под знаком логарифма

\(2^{x}\leq8^{5x-2}\)

 

- показательное

 

Есть переменная в показателе степени

... и так далее.

Также неравенства подразделяются на строгие и нестрогие - подробнее смотри здесь.



Что такое решение неравенства?

Если в неравенство вместо переменной подставить какое-нибудь число, то оно превратится в числовое.

Если данное значение для икса превращает исходное неравенство верное числовое, то оно называется решением неравенства. Если же нет - то данное значение решением не является. И чтобы решить неравенство – нужно найти все его решения (или показать, что их нет).

Например, если мы в линейное неравенство \(x+6>10\), подставим вместо икса число \(7\) –получим верное числовое неравенство: \(13>10\). А если подставим \(2\), будет неверное числовое неравенство \(8>10\). То есть \(7\) – это решение исходного неравенства, а \(2\) – нет.

Однако, неравенство \(x+6>10\) имеет и другие решения. Действительно, мы получим верные числовые неравенства при подстановке и \(5\), и \(12\), и \(138\)... И как же нам найти все возможные решения? Для этого используют равносильные преобразования неравенств. Для нашего случая имеем:

         \(x+6>10\)     \(|-6\)
\(x>4\)

То есть нам подойдет любое число больше четырех. Теперь нужно записать ответ. Решения неравенств, как правило, записывают числовыми промежутками, дополнительно  отмечая их на числовой оси штриховкой. Для нашего случая имеем:

Изображение на оси решения неравенства

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\)



Когда в неравенстве меняется знак? 

В неравенствах есть одна большая ловушка, в которую очень «любят» попадаться ученики:

При умножении (или делении) неравенства на отрицательное число, знак сравнения меняется на противоположный («больше» на «меньше», «больше или равно» на «меньше или равно» и так далее)

Почему так происходит? Чтобы это понять, давайте посмотрим преобразования числового неравенства \(3>1\). Оно верное, тройка действительно больше единицы. Сначала попробуем умножить его на любое положительное число, например, двойку:

\(3>1\)      \(|\cdot2\)
\(6>2\)             

Как видим, после умножения неравенство осталось верным. И на какое бы положительное число мы не умножали – всегда будем получать верное неравенство. А теперь попробуем умножить на отрицательное число, например, минус тройку:

\(3>1\)      \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)                   

Получилось неверное неравенство, ведь минус девять меньше, чем минус три! То есть, для того, чтобы неравенство стало верным (а значит, преобразование умножения на отрицательное было «законным»), нужно перевернуть знак сравнения, вот так: \(−9<− 3\).
С делением получится аналогично, можете проверить сами.

Записанное выше правило распространяется на все виды неравенств, а не только на числовые.

Пример:  Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2(x+1)-1<7+8x\)

Раскроем скобки

\(2x+2-1<7+8x\)

Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

\(2x-8x<7-2+1\)

Приведем подобные слагаемые

\(-6x<6\)        \(|:(-6)\)

Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять знак с «меньше» на «больше»

\(x>-1\)

Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое, поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем

решение линейного неравенства на оси                                                                                         

Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)



Неравенства и ОДЗ

Неравенства, также как и уравнения могут иметь ограничения на область допустимых значений, то есть на значения икса. Соответственно, из промежутка решений должны быть исключены те значения, которые недопустимы по ОДЗ.

Пример: Решить неравенство \(\sqrt{x+1}<3\)

Решение:  Понятно, что для того чтоб левая часть была меньше \(3\), подкоренное выражение должно быть меньше \(9\) (ведь квадратный корень из \(9\) как раз \(3\)). Получаем:

\(x+1<9\)    \(|-1\)
\(x<8\)    

Все? Нам подойдет любое значение икса меньшее \(8\)? Нет! Потому что если мы возьмем, например, вроде бы подходящее под требование значение \(-5\) – оно решением исходного неравенства не будет, так как приведет нас к вычислению корня из отрицательного числа.

\(\sqrt{-5+1}<3\)
\(\sqrt{-4}<3\)

Поэтому мы должны еще учесть ограничения на значения икса – он не может быть таким, чтоб под корнем было отрицательное число. Таким образом, имеем второе требование на икс:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

И чтобы икс был окончательным решением, он должен удовлетворять сразу обоим требованиям: он должен быть меньше \(8\) (чтобы быть решением) и больше \(-1\) (чтобы быть допустимым в принципе). Нанося на числовую ось, имеем окончательный ответ:

ОДЗ и решение неравенства на числовой оси

Ответ: \(\left[-1;8\right)\)


С ограничениями на ОДЗ сталкиваются в дробно-рациональных, иррациональных (как в примере выше) и логарифмических неравенствах, а также тригонометрических неравенствах, содержащих переменную под функцией тангенса или котангенса. Какие ограничения при этом накладываются, вы можете посмотреть здесь.

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*