Показательные неравенства. Как решать показательные неравенства?

Примеры:

\(4^{x}\geq32\)

\(5^{2x-1}-5^{2x-3}≤4,8\)

\((\sqrt{7})^{2x+2}-50(\sqrt{7})^{x}+7>0\)

Как решать показательные неравенства?

Примеры:

\(4^{x}≥32\)	\((0,5)^{2x}>0,125\)
\(2^{2x}≥2^5\)	\((0,5)^{2x}>(0,5)^3\)
\(2x≥5\)	\(2x<3\)
\(x≥2,5\)	\(x<1,5\)

Но есть одна важная тонкость в переходе в показательных неравенствах:
\(-\) если основание степени больше \(1\), то знак неравенства должен оставаться прежним,
\(-\) если же основание - число большее \(0\), но меньшее \(1\) (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

\(2^{x+1}\) \(≥\) \(2^3 ⇒ x+1\) \(≥\) \(3\)

\(0,5^{4x+3}\) \(≤\) \(0,5^{6x-1} ⇒ 4x+3\) \(≥\) \(6x-1\)

Важно! Есть два требования для перехода в показательных неравенствах:
\(-\) число в основании степени слева и справа должно быть одинаковым;
\(-\) степени слева и справа должны быть «чистыми», то есть не должно быть никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д.

Например:

1) \(3^{x+2}>5^{8-x}\)	Переход к \(x+2> 8-x \) невозможен, так как в основаниях разные числа
2) \(7^{x}+7^{3x}<7^{2x}\)	Переход к \(x+3x<2x\) невозможен, так как степени не «чистые» (слева есть сумма)
3) \(2^{5-x}≥-2^{7x}\)	Переход к \(5-x≥7x\) невозможен, так как степени не «чистые» (перед степенью справа стоит минус)

Пример. Решить показательное неравенство: \(2^{x}+2^{x+2}\leq 20\)
Решение:

\(2^{x}+2^{x+2}\leq 20\)		Сразу переход делать нельзя, сумма в левой части не дает. Поэтому используем свойства степеней и преобразуем \(2^{x+2}=2^{x} \cdot 2^2=4 \cdot 2^x\)
\(2^{x}+4 \cdot 2^{x}\leq 20\)		Теперь \(2^x\) и \(4 \cdot 2^{x}\) – подобные слагаемые, можно их сложить
\(5 \cdot 2^x≤20\)            \(| ∶5\)		Делим обе части неравенства на \(5\)
\(2^x≤4\)		Представляем четверку как \(2^2\)
\(2^x≤2^2\)		Вот теперь делаем переход: избавляемся от оснований, не меняя знак сравнения, т.к. основание \(2>1\)
\(x≤2\)

Ответ:  \(x∈(-∞;2]\)

Пример. Решить показательное неравенство: \(4^{2x}-5 \cdot 4^{x}+4< 0\)
Решение:

\(4^{2x}-5 \cdot 4^{x}+4< 0\)		Перед нами типичное показательно-квадратное неравенство. Преобразуем по свойству степеней \(4^{2x}=(4^x)^2\), чтобы на следующем шаге сделать замену.
\((4^{x})^2-5 \cdot 4^{x}+4< 0\)		Делаем замену переменных
\(t=4^x\)		Записываем неравенство в новом виде
\(t^2-5t+4<0\)		Раскладываем на множители правую часть
\((t-1)(t-4)<0\)		Решаем неравенство с помощью метода интервалов
		Записываем промежуточное решение в виде системы и делаем обратную замену
\(\begin{cases}t>1\\t<4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}4^x>1\\4^x<4\end{cases}\)		Решаем показательные неравенства
\(\begin{cases}4^x>4^0\\4^x<4^1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x>0\\x<1\end{cases}\)		Записываем ответ

Ответ:  \(x∈(0;1)\)

Решение показательных неравенств с разными основаниями

А что делать, если невозможно привести левую и правую часть неравенства к степеням с одинаковыми основаниями (т.е. к виду \(a^{f(x)} ˅ a^{g(x)})\) ? Тогда на сцену выходит его величество логарифм. По основному логарифмическому тождеству - \(c=a^{\log_{a}{⁡c}}\) , а значит любое положительное число можно представить в виде степени с любым основанием: \(5=2^{\log_{2}{5}}\) ; \(0,1=200^{\log_{200}{⁡0,1}}\) и т.д.

Пример: Решить показательное неравенство:

\(0,2^{-7x+4}≥4\)		Заменим \(4\) на \(0,2^{\log_{0,2}{⁡4}}\)
\(0,2^{-7x+4}≥0,2^{\log_{0,2}{4}}\)		Избавимся от оснований с переменой знака т.к. \(0,2<1\)
\(-7x+4≤\log_{0,2}⁡{4}\)		\(\log_{0,2}{⁡4}\) – число некрасивое, но все-таки число, т.е. перед нами обычное линейное неравенство. Будем выражать \(x\), для этого перенесем \(4\) в правую часть
\(-7x≤\log_{0,2}{⁡4}-4\)		Поделим обе части на \(-7\)
\(x≥\) \(\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)

Ответ: \(x∈\)\([\frac{4-\log_{0,2}{⁡4}}{7}\)\(;∞)\) 
Знаю, выглядит не очень, но ответ не выбирают.

Особые виды показательных неравенств

Решим неравенство \(5^x<-5\). Подумайте, каким должен быть икс, чтобы \(5^x\) превратилось в \(-5\)? Наверно, вы подумали о минус единице? Давайте проверим эту гипотезу: \(5^{-1}=\frac{1}{5}\) – не подходит.

На самом деле, никакая степень не превратит положительное число в отрицательное. Почему? Потому что показателе степени говорит лишь о том сколько раз умножается само на себя основание. А основание – положительно, и произведение положительных чисел – всегда положительно.

Таким образом, никакой \(x\) не сделает \(5^x\) отрицательным. То же самое можно сказать про \(2^x\), \(3^x\), \(4^x\), \(6^x\) и т.д.

Поэтому у показательного неравенства \(5^x<-5\) нет решений.

Рассмотрим обратное неравенство: \(5^x>-5\).

\(5^x\) – всегда больше нуля, и, уж тем более, оно будет больше \(-5\). Значит, решением неравенства \(5^x>-5\) будет любое число: \(x∈(-∞;∞)\).

Смотрите также:
Показательные  уравнения
Логарифмические  уравнения
Равносильные преобразования неравенств
Логарифмические  неравенства