Системы неравенств. Как решить систему неравенств?

Системой неравенств называют несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно.

Например:

\(\begin{cases}5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end{cases}\)

\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

\(\begin{cases}(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)



Решение системы неравенств

Чтобы решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.

Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:

решение линейного неравенства на числовой оси

Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс  из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:

решение второго линейного неравенств в системе

А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.

общее решение линейных неравенств на оси

Ответ: \((4;7]\)

Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.



Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.


Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)


Решение:

\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого.

1) \(7(3x+2)-3(7x+2)>2x\)

Раскроем скобки.

\(21x+14-21x-6>2x\)

Приведем подобные слагаемые.

\(8>2x\)

Перевернем получившееся неравенство.

\(2x<8\)

Поделим все неравенство на \(2\).

\(x<4\)

Отметим решение на числовой прямой.

Решение неравенства   

Запишем ответ для первого неравенства.

\(x∈(-∞;4)\)

Теперь решим второе неравенство.

2) \((x-5)(x+8)<0\)

Неравенство уже в идеальном виде для применения метода интервалов.

 

решение неравенства методом интервалов

Запишем ответ для второго неравенства.

\(x∈(-8;5)\)

Объединим оба решения с помощью числовых осей.

пересечение решений в системе неравенств         

Выпишем в ответ промежуток, на котором есть решение обоих неравенств - и первого, и второго.

Ответ: \((-8;4)\)



Пример: (Задание из ОГЭ)  Решить систему \(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\\ 2-7x≤14-3x \end{cases}\)


Решение:

\(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\\ 2-7x≤14-3x \end{cases}\)

Снова будем решать неравенства по отдельности.

1)\(\frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}\)\(≥0\)

Если вас испугал знаменатель – не бойтесь, сейчас мы его уберем.
Дело в том, что \(3+(5-2x)^2\)– всегда положительное выражение. Посудите сами: \((5-2x)^2 \)из-за квадрата либо положительно, либо равно нулю. \((5-2x)^2+3\) – точно положительно. Значит можно неравенство смело умножать на \(3+(5-2x)^2\)

\(10-2x≥0\)

Перед нами обычное линейное неравенство – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть.

\(-2x≥-10\)

Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства.

\(x≤5\)

Отметим решение на числовой прямой.

решение неравенства на числовой оси

Запишем ответ к первому неравенству.

\(x∈(-∞;5]\)

На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство.

2) \(2-7x≤14-3x\)

Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\).

\(-7x+3x≤14-2\)

Приводим подобные слагаемые.

\(-4x≤12\)

Делим все неравенство на \(-4\), перевернув при этом знак.

\(x≥-3\)

Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства.

решение линейного неравенства на оси \(x∈[-3;∞)\)

А теперь объединим решения.

Пересечение решений системы неравенств

Запишем ответ.

Ответ: \([-3;5]\)



Пример:  Решить систему \(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)


Решение:

\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)

В первом неравенстве раскроем скобку,  во втором - разложим квадратный трехчлен на множители, а в третьем - перенесем 14 в правую 

\(\begin{cases}x^2-55x+250<x^2-28x+196\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)

В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые.

\(\begin{cases}-27x+54<0\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)

Теперь в нем же перенесем \(54\) в левую сторону и поделим обе части на \((-27)\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(\begin{cases}x>2\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\)

Отметим решения неравенств на числовых прямых.

пересечение решений системы неравенств

Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от \(50\) и дальше. Запишем ответ.

Ответ: \([50;+∞)\)


Смотрите также:

Системы линейных неравенств
Совокупности неравенств

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*