Системы неравенств. Как решить систему неравенств?
Системой неравенств называют несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно.
Например:
\(\begin{cases}5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end{cases}\)
\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)
\(\begin{cases}(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)
Решение системы неравенств
Чтобы решить систему неравенств нужно найти значения иксов, которые подойдут всем неравенствам в системе – это и значит, что они выполняются одновременно.
Пример. Решим систему \(\begin{cases}x>4\\x\leq7\end{cases}\)
Решение: Первое неравенство становится верным, если икс больше \(4\). То есть, решения первого неравенства – все значения иксов из интервала \((4;\infty)\), или на числовой оси:
Второму неравенству подойдут значения иксов меньшие чем 7, включая саму семерку, то есть любой икс из интервала \((-\infty;7]\) или на числовой оси:
А какие значения подойдут обоим неравенствам? Те, которые принадлежат обоим промежуткам, то есть где промежутки пересекаются.
Ответ: \((4;7]\)
Как вы могли заметить для пересечения решений неравенств в системе удобно использовать числовые оси.
Общий принцип решения систем неравенств: нужно найти решение каждого неравенства, а потом пересечь эти решения с помощью числовой прямой.
Пример: (Задание из ОГЭ) Решить систему \(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases} 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\) |
Давайте каждое неравенство решим отдельно от другого. |
|
1) \(7(3x+2)-3(7x+2)>2x\) |
|
|
\(21x+14-21x-6>2x\) |
|
|
\(8>2x\) |
Перевернем получившееся неравенство. |
|
\(2x<8\) |
Поделим все неравенство на \(2\). |
|
\(x<4\) |
Отметим решение на числовой прямой. |
|
Запишем ответ для первого неравенства. |
|
\(x∈(-∞;4)\) |
Теперь решим второе неравенство. |
|
2) \((x-5)(x+8)<0\) |
Неравенство уже в идеальном виде для применения метода интервалов.
|
|
Запишем ответ для второго неравенства. |
|
\(x∈(-8;5)\) |
Объединим оба решения с помощью числовых осей. |
|
Выпишем в ответ промежуток, на котором есть решение обоих неравенств - и первого, и второго. |
Ответ: \((-8;4)\)
Пример: (Задание из ОГЭ) Решить систему \(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\\ 2-7x≤14-3x \end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases} \frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}≥0\\ 2-7x≤14-3x \end{cases}\) |
Снова будем решать неравенства по отдельности. |
|
1)\(\frac{10-2x}{3+(5-2x)^2}\)\(≥0\) |
Если вас испугал знаменатель – не бойтесь, сейчас мы его уберем. |
|
\(10-2x≥0\) |
Перед нами обычное линейное неравенство – выразим \(x\). Для этого перенесем \(10\) в правую часть. |
|
\(-2x≥-10\) |
Поделим неравенство на \(-2\). Так как число отрицательное меняем знак неравенства. |
|
\(x≤5\) |
Отметим решение на числовой прямой. |
|
Запишем ответ к первому неравенству. |
|
\(x∈(-∞;5]\) |
На данном этапе главное не забыть, что есть второе неравенство. |
|
2) \(2-7x≤14-3x\) |
Опять линейное неравенство – опять выражаем \(x\). |
|
\(-7x+3x≤14-2\) |
Приводим подобные слагаемые. |
|
\(-4x≤12\) |
Делим все неравенство на \(-4\), перевернув при этом знак. |
|
\(x≥-3\) |
Изобразим решение на числовой оси и выпишем ответ для этого неравенства. |
\(x∈[-3;∞)\)
|
А теперь объединим решения. |
|
Запишем ответ. |
Ответ: \([-3;5]\)
Пример: Решить систему \(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\)
Решение:
|
\(\begin{cases}x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end{cases}\) |
В первом неравенстве раскроем скобку, во втором - разложим квадратный трехчлен на множители, а в третьем - перенесем 14 в правую |
|
\(\begin{cases}x^2-55x+250<x^2-28x+196\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\) |
В первом перенесем все слагаемые в левую часть. И приведем подобные слагаемые. |
|
\(\begin{cases}-27x+54<0\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\) |
Теперь в нем же перенесем \(54\) в левую сторону и поделим обе части на \((-27)\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения. |
|
\(\begin{cases}x>2\\(x-5)(x-50)≥0\\x>14\end{cases}\) |
Отметим решения неравенств на числовых прямых. |
|
Решения подходящие всем неравенствам системы находятся от \(50\) и дальше. Запишем ответ. |
Ответ: \([50;+∞)\)
Смотрите также:
Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте
Хочу задать вопрос