Линейные неравенства. Решение линейных неравенств

Линейные неравенства – такие неравенства, которые можно привести к одному из видов:
\(ax>b\),         \(ax<b\),         \(ax \geq b\),         \(ax \leq b\),
где \(a\) и \(b\) любые числа (причем \(a\neq0\)), а \(x\) - неизвестная переменная.

Проще можно сказать, что это такие неравенства, в которых есть переменная только в первой степени, и она не находится в знаменателе дроби.

Примеры:

\(3x>-2\)

\(\frac{3y-4}{5}\)\(\leq1\)

\(5(x-1)-2x>3x-8\)

Примеры не линейных неравенств:

\(3>-2\) – здесь нет переменных, только лишь числа, значит это числовое неравенство
\(\frac{-14}{(y-3)^{2}-5}\) \(\leq0\) – есть переменная в знаменателе, это дробно-рациональное неравенство
\(5(x-1)-2x>3x^{2}-8\) - есть переменная во второй степени, это квадратное неравенство



Решение линейных неравенств

Решением неравенства будет любое число, подстановка которого вместо переменной сделает неравенство верным. Решить неравенство – значит найти все такие числа.

Например, для неравенства \(x-2>0\) число \(5\) будет решением, т.к. при подстановке пятерки вместо икса мы получим верное числовое: \(3>0\). А вот число \(1\) решением не будет, так как при подстановке получится неверное числовое неравенство:\(-1>0\) . Но решением неравенства будут не только пятерка, но и \(4\), \(7\), \(15\), \(42\), \(726\) и еще бесконечное множество чисел: любое число, больше двойки.


Поэтому линейные неравенства не решают перебором и подстановкой значений. Вместо этого их с помощью равносильных преобразований приводят к одному из видов:

\(x<c\),        \(x>c\),        \(x\leqс\),        \(x\geqс\),       где \(с\) - любое число

После чего ответ отмечается на числовой оси и записывается в виде промежутка (также называемого интервалом).

Вообще, если вы умеете решать линейные уравнения, то и линейные неравенства вам под силу, потому что процесс решения очень схож. Есть лишь одно важное дополнение: 

При умножении или делении неравенства на любое отрицательное число (или выражение) нужно менять знак сравнения на противоположный (почему так – смотри здесь).

Пример. Решить неравенство \(2(x+1)-1<7+8x\)
Решение:

\(2(x+1)-1<7+8x\)

Раскроем скобки

\(2x+2-1<7+8x\)

 

Перенесем \(8x\) влево, а \(2\) и \(-1\) вправо, не забывая при этом менять знаки

\(2x-8x<7-2+1\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(-6x<6\)        \(|:(-6)\)

 

Поделим обе части неравенства на \(-6\), не забыв поменять знак сравнения

\(x>-1\)


Отметим на оси числовой промежуток. Неравенство строгое, поэтому само значение \(-1\) «выкалываем» и в ответ не берем

решение линейного неравенства на оси


Запишем ответ в виде интервала

Ответ: \(x\in(-1;\infty)\)



Особый случай №1: решение неравенства – любое число

В линейных неравенствах возможна ситуация, когда ему в качестве решения пойдет абсолютно любое число – целое, дробное, отрицательное, положительное, ноль… Например, вот такое неравенство \(x+2>x\) будет верным при любом значении икса. Ну, а как же может быть иначе, ведь слева к иксу прибавили двойку, а справа – нет. Естественно, что слева будет получаться большее число, какой бы икс мы не взяли.

Пример. Решить неравенство \(3(2x-1)+5<6x+4\)
Решение:

\(3(2x-1)+5<6x+4\)

Раскроем скобки

\(6x-3+5<6x+4\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(6x+2<6x+4\)

 

Перенесем  члены с иксом влево, а числа вправо, не забывая при этом менять знаки

\(6x-6x<4-2\)

 

Приведем подобные слагаемые

\(0<2\)


Получили верное числовое неравенство. Причем оно будет верным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса будет решением

Ответ: \(x\in(-\infty;\infty)\)



Особый случай №2: неравенство не имеет решений

Возможна и обратная ситуация, когда у линейного неравенства вообще нет решений, то есть никакой икс не сделает его верным. Например, \(x-2>x\) не будет верным никогда, ведь слева из икса вычитают двойку, а справа – нет. Значит, слева всегда будет меньше, а не больше.

Пример. Решить неравенство \(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)
Решение:

\(\frac{x-5}{2}\)\(>\) \(\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)

Нам мешают знаменатели. Сразу же избавляемся от них, умножая всё неравенство на общий знаменатель всех дробей, то есть – на 6

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\((\frac{3x+2}{6}\)\(-1\)\()\)

 

Раскроем скобки

\(6\cdot\)\(\frac{x-5}{2}\)\(>\)\(6\cdot\)\(\frac{3x+2}{6}\)\(-6\)

 

Сократим то, что можно сократить 

\(3\cdot(x-5)>3x+2-6\)

 

Слева раскроем скобку, а справа приведем подобные слагаемые

\(3x-15>3x-4\)


Перенесем \(3x\) влево, а \(-15\) вправо, меняя знаки

\(3x-3x>-4+15\)


Вновь приводим подобные слагаемые

\(0>11\)


Получили неверное числовое неравенство. И оно будет неверным при любом иксе, ведь он никак не влияет на получившееся неравенство. Значит, любое значение икса решением не будет.

Ответ: \(x\in\varnothing\)


Смотрите также:  
Системы линейных неравенств
Строгие и нестрогие неравенства


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*