Дробные рациональные неравенства

Дробные рациональные неравенства – это неравенства, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.


Примеры:

\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(\leq0\)

\(\frac{1}{2x}\)\(+\) \(\frac{x}{x+1}\)\(<\)\(\frac{1}{2}\)

\(\frac{6}{x+1}\)\(>\) \(\frac{x^2-5x}{x+1}\).

При решении дробных рациональных неравенств используется метод интервалов. Поэтому если алгоритм, приведенный ниже, вызовет у вас затруднения, посмотрите статью по методу интервалов.




Как решать дробные рациональные неравенства:

Алгоритм решения дробно-рациональных неравенств.

  1. Равносильными преобразованиями приведите неравенство к виду: \(\frac{(x-x_1 )^n (x-x_2 )^k…}{(x-x_3 )^l (x-x_4 )^m…}\)\(∨0\)   (\(∨\) - любой знак сравнения; \(n\),\(k\),\(l\),\(m\) – любые целые числа большие нуля, в том числе и \(1\)).

    Примеры:
                       \(\frac{(x-3)^5 (x-1,2)}{(x+1)^2}\) \(≥0\)                                          \(\frac{(x-4)^3 (x-6)^4 (x+6)}{(x+7,5)}\)\(<0\)

  2. Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).

    Примеры:
                           \(x=3\);     \(x=1,2\);     \(x=-1\).                            \(x=4\);     \(x=6\);     \(x=-6\);     \(x=-7,5\).

  3. Нанесите их на числовую ось.
    Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет - закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения

    Примеры:
               Дробно-рациональные неравенства.png              дробно-рацинальные неравенства 2.png

  4. Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

    - Определяем знак в самом крайнем правом интервале - берем число с этого интервала и подставляем его в неравенство вместо икса. После этого определяем знаки в скобках и результат перемножения этих знаков;

    - Дальше двигаемся влево;

    - Переходя через число:


    - меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (\(1\), \(3\), \(5\)…)

     

    - не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (\(2\), \(4\), \(6\)…)

    Примеры:
                       как определить меняется ли знак или нет                         дробно-рациональные неравенства 8.png                              дробно-рациональные неравенства3.png                 дробно-рациональные неравенства 4.png

  5. Выделите нужные промежутки. Если есть отдельно стоящий корень, то отметьте его флажком, чтоб не забыть внести его в ответ (см. пример ниже).

    Примеры:
                    дробно рациональные неравенства 5.png                 дробно-рациональне неравенства6.png

  6. Запишите в ответ выделенные промежутки и корни, отмеченные флажком (если они есть).

    Примеры:
                  Ответ: \((-∞;-1)∪(-1;1,2]∪[3;∞)\)                               Ответ: \((-∞;-7,5)∪(-6;4)\)




Пример. Решить неравенство \(\frac{x}{(x+1)(x-3)}+\frac{4}{{(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)
Решение:

\(\frac{x}{(x+1)(x-3)}+\frac{4}{{(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)

Сначала приведем к общему знаменателю дроби из левой части.

\(\frac{x(x-3)+4(x+1)}{(x+1){(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)

Раскрываем скобки в числителе.

\(\frac{x^2-3x+4x+4}{(x+1){(x-3)}^2} ≥\frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)

Переносим дробь из правой части в левую, меняя знак перед ней.

\(\frac{x^2-3x+4x+4}{(x+1){(x-3)}^2} - \frac{-3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)

Вычитаем две дроби с одинаковым знаменателем.

\(\frac{x^2-3x+4x+4 +3x}{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)

Приводя подобные слагаемые, взаимно уничтожаем \(-3x\) и \(3x\).

\(\frac{x^2+4x+4 }{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)

Свернем выражение в числителе по формуле сокращенного умножения.

\(\frac{(x+2)^2}{(x-3)^2 (x+1)}\)\(≥0\)

Мы привели неравенство к нужному виду. Теперь решаем по алгоритму.

Сначала вычисляем те значения икса, которые сделают нулем числитель или знаменатель.

\(x=-2;\)       \(x=-1;\)     \(x=3;\)

Отмечаем их на оси, не забывая «выколоть» иксы от знаменателя и закрасить те, что от числителя.

дробно-рациональные неравенства (2).png

Определим знак в крайнем правом интервале.
Найдем значение дроби при \(x=4\): \(\frac{(4+2)^2}{(4+1) (4-3)^2 }\) – значение дроби положительно. Значит в крайнем правом участке будет \(+\) .

Расставляем знаки на других интервалах.
Обратите внимание, что в \(x=-1\) знак меняется, а в \(3\) и \(-2\) (выделены рамкой) – нет.
Точку \(-2\) отмечаем флажком, чтобы не забыть взять ее в ответ. Все. Нам подойдут интервалы с плюсом и точка \(-2\). Готово.

Ответ: {\(-2\)} \( ∪\) \((-1;3)∪(3;+∞)\)


В этом месте у учеников часто встает вопрос – «а зачем решать так сложно? Почему бы просто не умножить дробное рациональное неравенство на общий знаменатель и сразу сократить все знаменатели, как мы это делаем в дробно-рациональных  уравнениях?» Дело в том, что:

Неравенства нельзя умножать или делить на выражения  с переменной, если неизвестен знак этого выражения.

Уравнения без проблем можно умножить/делить хоть на положительное число или выражение, хоть на отрицательное. И мы это постоянно делаем при решении уравнений.

Например,                  \(\frac{x}{3}\)\(=4\)          \(|·3\)                         \(-2x=6\)       \(|∶(-2)\)
                                       \( x=12\)                                           \(x=-3\)

Но в неравенстве - не так! Все дело в том, что при умножении (или делении) на положительное, знак сравнения в неравенстве не меняется, а при умножении (делении) на отрицательное - меняется.

Например,                  \(5x>15\)          \(|:5\)                         \(-5x>15\)       \(|∶(-5)\)
                                       \( x>3 \)                                                  \(x<-3\)

А теперь представьте, что мы делим (или умножаем) на выражение с переменной. Внимание, вопрос - какой знак сравнения нам нужно теперь ставить? Тот же? Или противоположный?

Например,                      \(\frac{x}{x-3}\)\(>2\)        \(|·(x-3)\)
                                            \(x\)   ?  \(2(x-3)\)

Непонятно, мы же не знаем каким оно (выражение на которое умножали) было– положительным или отрицательным! Действительно, при иксе равном \(1\), значение \((x-3)\) отрицательно, а при иксе равном \(7\) – положительно. Поэтому так преобразовывать нельзя. При этом заметим, что:

Если знак выражения известен (например, одинаков при любом значении икса) - умножать на него неравенство можно.


Например, дробное рациональное неравенство \(\frac{x+1}{(x-3)^2+5}\)\(≥0\) умножить на \((x-3)^2+5\) можно, потому что это выражение положительно при любом иксе (и значит, после умножения мы оставим тот же знак сравнения).

А вот неравенство \(\frac{x+1}{x+5}\)\(≥\)\(\frac{3-x}{x+5}\) умножить на \((x+5)\) – нельзя, потому что при разных иксах его значение может быть и отрицательным, и положительным.

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*