Квадратные неравенства. Как решать квадратные неравенства?

Квадратными неравенствами называют неравенства, которые можно привести к виду \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), где \(a\),\(b\) и \(с\) - любые числа (причем \(a≠0\)), \(x\) – неизвестная переменная, а \(⋁\) –  любой из знаков сравнения (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).

Проще говоря, такие неравенства выглядят как квадратные уравнения, но со знаком сравнения вместо знака равно.
Примеры:

\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\((2x+5)(x-1)≤5\)



Как решать квадратные неравенства?

Квадратные неравенства обычно решают методом интервалов. Ниже приведен алгоритм, как решать квадратные неравенства с дискриминантом больше нуля. Решение квадратных неравенств с дискриминантом равным нулю или меньше нуля – разобраны отдельно.

  1. Приведите неравенство к виду \(ax^2+bx+c⋁0\).
    Примеры:

    \(x^2-6x-16<0\)                                                         \(-9x^2+x+8≤0\)

  2. Разложите выражение слева на множители. Для этого приравняйте его к нулю и решите получившееся уравнение, найдя корни  \(x_1\) и  \(x_2\). Затем запишите исходное выражение в виде \(a(x-x_1 ) (x-x_2 )\) Подробнее об этом можно почитать здесь.

    \(x^2-6x-16=0\)                                                         \(-9x^2+x+8=0\)
    \(D=36-4 \cdot 1 \cdot (-16)=100=10^2\)                               \(D=1-4 \cdot (-9) \cdot 8=289\)       
                                 \(x_1=\frac{6-10}{2}=-2\)                                                     \(x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}\)                          \(x_2=\frac{6+10}{2}=8\)                                                         \(x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1\)
       \((x-8)(x+2)<0\)                                                     \(-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0\)

  3. Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком \(<\) или \(>\)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.

    квадратные неравенства4.png                        решение

  4. Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.
    В первом справа интервале поставьте:
       \(-\) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число
       \(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.
    В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.

    знаки на интервалах                          знаки на интервалах

  5. Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:
       \(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»
       \(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\(<0\)» или «\(≤0\)»

    отрезок - решение                            закрашиваем решение

  6. Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
    Внимание! При строгих знаках неравенства (\(<\) или \(>\)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) - границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.

    Ответ: \((-2;8)\)                                                             Ответ: \((-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)\)



Пример.  Решите квадратное неравенство \(\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}\)\(≥\) \(\frac{8}{15}\)
Решение:

\(\frac{x^2}{5}+\frac{2x}{3}\)\(≥\) \(\frac{8}{15}\)

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенство на \(15\).

\(3x^2+10x≥8\)

Перенесем \(8\) влево.

\(3x^2+10x-8≥0\)

Вот мы и привели неравенство к виду \(ax^2+bx+c⋁0\). Запишем квадратное уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\).

\(3x^2+10x-8=0\)

Решим полученное квадратное уравнение.

\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\)
\(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\)          \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)

 

 

Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.

\(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)

Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.

квадратные неравенства9.png

Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).

Ответ: \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)



Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом

Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:

\(1) x^2+2x+9>0\)

\(2) x^2+6x+9≤0\)

\(3)-x^2-4x-4>0\)

\(4) -x^2-64<0\)

\(D=4-36=-32<0\)

\(D=36-36=0\)

\(D=16-16=0\)

\(D=-4 \cdot 64<0\)


Если \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

То есть, выражение:
\(x^2+2x+9\) – положительно при любых \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - отрицательно при любых \(x\), т.к. \(a=-1<0\)


Если \(D=0\), то квадратный трехчлен при одном значении \(x\) равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента \(a\).

То есть, выражение:
\(x^2+6x+9\) - равно нулю при \(x=-3\) и положительно при всех остальных иксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - равно нулю при \(x=-2\) и отрицательно при всех остальных, т.к. \(a=-1<0\).


Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:

1) \(x^2+2x+9>0\)
\(D=4-36=-32<0\)

Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких \(x\) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых \(x\)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики.

Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)

2) \(x^2+6x+9≤0\)
\(D=36-36=0\)

Вопрос от неравенства: «при каких \(x\) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение.

\(x^2+6x+9=0\)

Давайте соберем наше выражение по формуле \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\).

\((x+3)^2=0\)

Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем - какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю.

\(x+3=0\)
\(x=-3\)

Это число и будет ответом.

Ответ: \(-3\)

 

3)\(-x^2-4x-4>0\)
\(D=16-16=0\)

Когда выражение слева больше нуля?

Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» - \(∅\).

Ответ: \(x∈∅\)

4) \(-x^2-64<0\)
\(D=-4 \cdot 64<0\)

Когда выражение слева меньше нуля?

Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).

Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)

 



Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*