Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – это многочлен вида \(ax^2+bx+c\)   (\(a≠0\)).


Пример:

\(x^2-2x+1\)
\(3x^2-5x+6\)

Почему его называют именно так? Потому что, наибольшая степень у него – квадрат, а состоит он из трех слагаемых (одночленов). Вот и получается – квадратный трехчлен.

квадратный трехчлен.png

Примеры не квадратных трехчленов:

\(x^3-3x^2-5x+6\) - кубический четырёхчлен
\(2x+1\) - линейный двучлен




Корень квадратного трехчлена:

Значение переменной \(x\), при котором квадратный трехчлен обращается в ноль, называют его корнем.

Пример:
У трехчлена \(x^2-2x+1\) корень \(1\), потому что \(1^2-2·1+1=0\)
У трехчлена \(x^2+2x-3\) корни \(1\) и \(-3\), потому что \(1^2+2-3=0\) и \((-3)^2-6-3=9-9=0\)

Чтобы найти корни квадратного трехчлена нужно решить соответствующее квадратное уравнение.

Например:  если нужно найти корни для квадратного трехчлена \(x^2-2x+1\), приравняем его к нулю и решим уравнение \(x^2-2x+1=0\).

\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac{2-0}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Готово. Корень равен \(1\).




Разложение квадратного трёхчлена на множители:

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно разложить как \(a(x-x_1 )(x-x_2)\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) больше нуля \(x_1\) и \(x_2\) - корни того же уравнения).


Например, рассмотрим трехчлен \(3x^2+13x-10\).
У квадратного уравнения \(3x^2+13x-10=0\) дискриминант равен 289 (больше нуля), а корни равны \(-5\) и \(\frac{2}{3}\). Поэтому \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac{2}{3})\). В верности этого утверждения легко убедится – если мы раскроем скобки, то получим исходный трехчлен.


Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) можно представить как \(a(x-x_1)^2\), если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен нулю.

Например, рассмотрим трехчлен \(x^2+6x+9\).
У квадратного уравнения \(x^2+6x+9=0\) дискриминант равен \(0\), а единственный корень равен \(-3\). Значит, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (здесь коэффициент \(a=1\), поэтому перед скобкой не пишется – незачем). Обратите внимание, что тоже самое преобразование можно сделать и по формулам сокращенного умножения.

Квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) не раскладывается на множители, если дискриминант уравнения \(ax^2+bx+c=0\) меньше нуля.

Например, у трехчленов \(x^2+x+4\) и \(-5x^2+2x-1\) – дискриминант меньше нуля. Поэтому разложить их на множители невозможно.

Пример. Разложите на множители \(2x^2-11x+12\).
Решение:
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2-11x+12=0\)

\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac{11-5}{4}=1,5;\) \(x_2=\frac{11+5}{4}=4.\)

Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Ответ: \(2(x-1,5)(x-4)\)

Полученный ответ, может быть, записать по-другому: \((2x-3)(x-4)\).


Пример. (Задание из ОГЭ) Квадратный трехчлен разложен на множители \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Найдите \(a\).
Решение:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac{-33-17}{10}=-5\)
\(x_2=\frac{-33+17}{10}=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)


Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*