Дискриминант

Дискриминантом квадратного трехчлена называют выражение \(b^{2}-4ac\), где \(a, b\) и \(c\) – коэффициенты данного трехчлена.

Например, для трехчлена \(3x^2+2x-7\), дискриминант будет равен \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А для трехчлена \(x^2-5x+11\), он будет равен \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминант обозначается буквой \(D\) и часто используется при решении квадратных уравнений. Также по значению дискриминанта можно понять, как примерно выглядит график квадратичной функции (см. ниже).




Дискриминант и корни квадратного уравнения

Значение дискриминанта показывает количество корней квадратного уравнения:
         - если \(D\) положителен – уравнение будет иметь два корня;
         - если \(D\) равен нулю – только один корень;
         - если \(D\) отрицателен – корней нет.

Это не надо учить, к такому выводу несложно прийти, просто зная, что квадратный корень из дискриминанта (то есть, \(\sqrt{D}\) входит в формулу для вычисления корней квадратного уравнения: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\). Давайте рассмотрим каждый случай подробнее.




Если дискриминант положителен

В этом случае корень из него – это некоторое положительное число, а значит \(x_{1}\) и \(x_{2}\) будут различны по значению, ведь в первой формуле \(\sqrt{D}\) прибавляется, а во второй – вычитается. И мы имеем два разных корня.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+2x-3=0\)
Решение:

\(x^2+2x-3=0\)

                              

Выписываем коэффициенты:

\(a=1;\)      \(b=2;\)      \(c=-3;\)

 

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

\(D=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=\)
\(=4+12=16\)

 

Найдем корни уравнения

\(x_{1}=\)\(\frac{-2+\sqrt{16}}{2\cdot1}\)\(=\)\(\frac{2}{2}\)\(=1\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-2-\sqrt{16}}{2\cdot1}\)\(=\)\(\frac{-6}{2}\)\(=-3\)


Получили два различных корня из-за разных знаков перед \(\sqrt{D}\)

Ответ: \(x_{1}=1\);    \(x_{2}=-3\)

На графике квадратичной функции положительный дискриминант будет означать пересечение функции с осью икс ровно в двух точках – корнях уравнения.  И это логично. Вдумайтесь – если уравнение \(x^2+2x-3=0\) имеет корни \(x_{1}=1\) и \(x_{1}=-3\), значит при подстановке \(1\) и \(-3\) вместо икса, левая часть станет нулем. А значит, если те же самые единицу и минус тройку подставить в функцию \(y=x^2+2x-3\) получим \(y=0\). То есть, функция \(y=x^2+2x-3\) проходит через точки \((1;0)\) и \((-3;0)\) (подробнее смотри статью Как построить график функции). 

график параболы при положительном дискриминанте.png




Если дискриминант равен нулю

А сколько корней будет, если дискриминант равен нулю? Давайте рассуждать.

Формулы корней выглядят так: \(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\) и \(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).  И если дискриминант – ноль, то и корень из него тоже ноль.  Тогда получается:

\(x_{1}=\)\(\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b+0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-\sqrt{0}}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b-0}{2a}\)\(=\)\(\frac{-b}{2a}\)

То есть, значения корней уравнения будут совпадать, потому что прибавление или вычитание нуля ничего не меняет.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2-4x+4=0\)
Решение:

\(x^2-4x+4=0\)

                              

Выписываем коэффициенты:

\(a=1;\)      \(b=-4;\)      \(c=4;\)

 

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\)
\(=16-16=0\)

 

Находим корни уравнения

\(x_{1}=\)\(\frac{-(-4)+\sqrt{0}}{2\cdot1}\)\(=\)\(\frac{4}{2}\)\(=2\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-(-4)-\sqrt{0}}{2\cdot1}\)\(=\)\(\frac{4}{2}\)\(=2\)


Получили два одинаковых корня, поэтому нет смысла писать их по отдельности – записываем как один.

Ответ: \(x=2\)

На графике квадратичной функции нулевой дискриминант означает одну точку пересечения функции с осью икс.  Все аналогично изложенному выше: два корня – две точки пересечения, один корень – одна. В частности, функция \(y=x^2-4x+4\) будет выглядеть вот так:

график параболы при дискриминанте равном нулю.png




Если дискриминант отрицателен

В этом случае корень из дискриминанта извлечь нельзя (т.к. квадратный корень из отрицательного числа – невычислим), а значит и корни квадратного уравнения мы вычислить не можем.

Пример: Найдите корни уравнения \(x^2+x+3=0\)
Решение

\(x^2+x+3=0\)

                              

Выписываем коэффициенты:

\(a=1;\)      \(b=1;\)      \(c=3;\)

 

Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\)

\(D=1^2-4\cdot1\cdot3=\)
\(=1-12=-11\)

 

Находим корни уравнения

\(x_{1}=\)\(\frac{-1+\sqrt{-11}}{2\cdot1}\)\(=...\)

\(x_{2}=\)\(\frac{-1-\sqrt{-11}}{2\cdot1}\)\(=...\)


Оба корня содержат невычислимое выражение \(\sqrt{-11}\), значит, и сами не вычислимы

Ответ: нет корней.

То есть, отсутствие корней у квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом – не чья-то случайная придумка. Это не потому что «в учебнике так написано», а действительно правда: невозможно найти такое число, чтоб при подстановке его вместо икса в выражение \(x^2+x+3\) получился ноль.

Матхак: заметим, что если вы решаете обычное квадратное уравнение или неравенство и получаете отрицательный дискриминант, стоит проверить решение еще раз, так как это не частая ситуация в школьном курсе математики.

Ну, а на графиках все просто: нет корней – нет точек пересечения с осью икс!

график параболы при отрицательном дискриминанте.png

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*