Множитель. Разложение на множители

Множитель – один из компонентов умножения.

Пример: В выражении \(7ab(x-y)(3+m)\) всего \(5\) множителей: \(7\), \(a\), \(b\), \((x-y)\) и \((3+m)\).

множитель1.png


Разложить на множители – значит представить выражение в виде произведения множителей.

множитель2.png

Примеры:

\(6x^2+5x=x(6x+5)\)
\(36c-c^3=c(36-c^2 )=c(6-c)(6+c)\)
\(12=3 \cdot 4=3 \cdot 2 \cdot 2\)

Такое разложение - штука полезная, она помогает сокращать дроби, решать уравнения  методом расщепления и многое другое.

Примеры:
  • Сократить дробь: \(\frac{15x^2-6xy}{3x^2}\)
    Решение:
  • \(\frac{15x^2-6xy}{3x^2}= \frac{3x(5x-2y)}{3x·x}=\frac{5x-2y}{x}\)

    Ответ:\(\frac{5x-2y}{x}\)
  • Решить уравнение: \(x^5-x^4=0\)
    Решение:

    \(x^5-x^4=0\)
    \(x^4 (x-1)=0\)
    \(x^4=0\) или \(x-1=0\)
    \(x=0\) или \(x=1\)

    Ответ: \(x_1=0\); \(x_2=1\)

Важно! Разложить на множители можно далеко не любое выражение. Например, выражение \(3am-6c +x\) не раскладывается в принципе.
Замечание: \(3am-6c +x=3(am-2c)+x\) – не является разложением на множители, так как есть стоящее отдельно прибавление икса.



Основные способы разложения на множители

  1. Вынесение общего множителя за скобки
    Пример: \(2am+8m=2m(a+4)\)
    Важно! В математике принято выносить за скобку все общие множители. Поэтому разложение \(2am+8m=2(am+4m)\) или \(2am+8m=m(2a+8)\) считается неполным.


  2. Группировка
    Смысл метода в том, что мы:
          - группируем члены выражения, заключая их в скобки

    \(3ax+9x+8a+24=(3ax+9x)+(8a+24)=...\)

          - после чего выносим из получившихся скобок общие множители

    \(…=3x(a+3)+8(a+3)=...\)

          - а теперь все выражение как бы заключаем в общую скобку и выносим из нее одинаковые скобки, полученные ранее (выделены красным):

    \(…=(3x\)\((a+3)\)\(+8\)\((a+3)\)\()=\)\((a+3)\)\((3x+8)\)

    Важно! Члены исходного выражения должны быть сгруппированы на первом шаге таким образом, чтобы после вынесения общих множителей на втором шаге, остались одинаковые скобки. Иначе невозможно будет выполнить третий шаг. В этом состоит основная трудность применения данного метода. Но с опытом вы научитесь видеть как именно надо группировать члены выражения:
    Пример:  \(5x-3x^2-15+x^3=x^3-3x^2+5x-15=(x^3-3x^2 )+(5x-15)=\)
                        \(=x^2 (x-3)+5(x-3)=(x^2 (x-3)+5(x-3))=(x-3)(x^2+5)\)


  3. Использование формул сокращенного умножения
    Примеры:
    \(x^2+4x+4=x^2+2·2·x+2^2=(x+2)^2=(x+2)(x+2)\)
    \(25x^2-9=(5x)^2-3^2=(5x-3)(5x+3)\)
    \(25+16x^2-40x=16x^2-40x+25=(4x)^2-2·4x·5+5^2=(4x-5)^2\)
    Чтобы уверенно использовать этот способ, естественно, надо назубок знать все формулы сокращённого  умножения. И поверьте, они вам еще встретятся в самых разных заданиях. Так что не поленитесь и выучите их.


  4. Разложение квадратного трёхчлена:
    Трехчлен вида \(ax^2+bx+c\) можно представить в виде \(a(x-x_1 )(x-x_2 )\) , где \(x_1\) и \(x_2\)- корни квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

    Пример. Разложить на множители \(2x^2-11x+12\)
    Решение:   Решим квадратное уравнение \(2x^2-11x+12=0\)
                                                                              \(x_1=1,5;\)   \(x_2=4\)
    Значит, \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
    Ответ: \(2(x-1,5)(x-4)\)

Матхак! Разложение на множители - это действие, обратное раскрытию скобок. Поэтому правильность любого разложения всегда можно проверить, раскрыв скобки получившегося выражения и приведя подобные слагаемые. Если в результате мы вернемся к исходному – значит разложение проведено верно.
\(2(x-1,5)(x-4)=(2x-3)(x-4)=2x(x-4)-3(x-4)=2x^2-8x-3x+12=2x^2-11x+12\)
Выражение совпадает с исходным, значит разложили правильно.



Смотрите также:
Разложение на множители методом деления многочленов "уголком"

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*