Вынесение общего множителя за скобку

Например, выражение  \(5x+xy\) можно представить как \(x(5+y)\). Это и в самом деле одинаковые выражения, мы можем в этом убедиться если раскроем скобки: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Как видите, в результате мы получаем исходное выражение. Значит, \(5x+xy\) действительно равно \(x(5+y)\). Кстати, это надежный способ проверки правильности вынесения общих множителей – раскрыть полученную скобку и сравнить результат с исходным выражением.

Главное правило вынесения за скобку:

К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:

Правила вынесения за скобки

1. В математике принято выносить сразу все общие множители.

   Пример: \(3xy-3xz=3x(y-z)\)
   Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс.
   

2. Иногда общие члены сразу не видны.
   

   Пример: \(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
   В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку.
   

3. Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.

   Пример: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
   Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований:

   \(5xy+axy-\)\(x\)\(=5xy+axy-\)\(1 \cdot x\)\(=\)\(x\)\((5y+ay-\)\(1\)\()\)

   Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно.

4. За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.
   

   Пример: \(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
   По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно:

   \(x-y=\)
   \(=1·x+(-1)·y=\)
   \(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
   \(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
   \(=-(-x+y)=\)
   \(-(y-x)\)

5. Скобка тоже может быть общим множителем.
   

   Пример: \(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
   С такой ситуацией (вынесением за скобку скобки) чаще всего мы сталкиваемся при разложении на множители методом группировки или решении уравнений методом расщепления.

6. Степень также может выноситься за скобку как общий множитель.

   Пример: \(x^5-x^3+x^2=x^2 (x^3-x+1)\)
   Действительно, ведь \(x^5\) - это тоже самое, что \(x·x·x·x·x\),
                                            \(x^3\) - это тоже самое, что \(x·x·x\),
                                            \(x^2\) - это тоже самое, что \(x·x\).

   Таким образом, получаем:

   \(x^5-x^3+x^2= x·x·x·x·x- x·x·x+x·x= …\)

   Теперь у нас в каждом члене есть общие множители \(x·x\) - их и выносим:

   \(…= x·x(x·x·x- x+1)=x^2 (x^3-x+1)\)