Решение уравнений методом разложения на множители

Решение уравнений разложения на множители (метод расщепления) – это способ решения уравнений при котором мы стремимся уравнение свести их к виду:


( )∙( )∙…∙( )=0,

а затем каждую скобку приравнять к нулю и решить как отдельное уравнение.


Пример. Решите уравнение \(x^2+5x=0\).
Решение:

\(x^2+5x=0\)

                              

Вынесем за скобку икс.

\(x(x+5)=0\)

 

Разобьем уравнение на два простейших.

\(x=0\)                    \(x+5=0\)

 

В первом корень уравнения уже понятен, во втором надо перенести \(5\) в правую сторону.

\(x_1=0\)                     \(x_2=-5\)

 

Ответ: \(0\); \(-5\).

Решение методом разложения на множители основывается на простой идее:

В результате умножения ноль можно получить, только если один из множителей  равен нулю.


Попробуйте придумать два числа, которые при умножении дают ноль. Вы убедитесь, что хотя бы одно из них обязательно должно быть нулем.


Этот метод решения уравнений один из самых популярных, поэтому освоить его очень важно для тех, кто планирует иметь четверки и пятерки. А для освоения этого метода, конечно, надо уметь раскладывать на множители как Бог: знать все формулы сокращенного умножения, легко выносить множители за скобки, уметь применять метод группировки и т.д. Подробнее о всех способах разложения на множители смотри здесь.

Пример(задание из ОГЭ). Решите уравнение \(x^3+4x^2-4x-16=0\).
Решение:

\(x^3+4x^2-4x-16=0\)

                              

Перед нами кубическое уравнение.
Применим метод группировки: из первой пары слагаемых вынесем \(x^2\), а из второй – минус четверку.

\(x^2 (x+4)-4(x+4)=0\)

 

Вынесем за скобку \(x+4\).

\((x+4)(x^2-4)=0\)

 

Разложим на множители \(x^2-4\) по формуле сокращенного умножения.

\((x+4)(x-2)(x+2)=0\)

Расщепим уравнения на три.

\(x+4=0\)     \(x-2=0\)     \(x+2=0\)  \(x_1=-4\)        \(x_2=2\)         \(x_3=-2\)

Ответ: \(-4\); \(2\);  \(-2\).

Применение метода разложения на множители для решения уравнений не ограничивается 7-9 классами. Зачастую задач в 10-11 класса также основываются на этом методе.

Пример(задание из ЕГЭ). Решите уравнение \(15^{\cos⁡x} =3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\sin⁡x}\).
Решение:

\(15^{\cos⁡x} =3^{\cos⁡x}\cdot 5^{\sin⁡x} \)

                              

Это показательно-тригонометрическое уравнение.
Обратим внимание, что \(15\) можно представить как \(3\cdot 5\). Вряд ли это простое совпадение. Используя свойства степеней разложим \(15\) на множители.

\(3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\cos⁡x} = 3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\sin⁡x}\)

 

Перенесем выражение из правой части в левую.

\(3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\cos⁡x} - 3^{\cos⁡x} \cdot 5^{\sin⁡x}=0\)

 

Вынесем за скобки \(3^{\cos⁡x}\).

\(3^{\cos⁡x}(5^{\cos⁡x} -5^{\sin⁡x})=0\)

Решаем методом расщепления.

\(3^{\cos⁡x} =0\)     или       \(5^{\cos⁡x} -5^{\sin⁡x} =0\)

В какую степень надо возвести тройку, чтоб она стала нулем? Ни в какую, положительное число в любой степени останется положительным числом. Поэтому у первого уравнения нет решения.
Во втором уравнении перенесем \(5^{\sin⁡x}\) вправо.

нет корней             \(5^{\cos⁡x}=5^{\sin⁡x}\)

Имеем показательное уравнение. Решаем его как обычно - «убираем» основания степеней.

                                  \(\cos⁡x=\sin⁡x\)

Делим уравнение на \(\sin⁡x\). Это можно сделать т.к. \(\sin⁡x=0\) не будет решением уравнения. Значит синус икс – не ноль, и поэтому на него можно делить.

                                  \(сtg x=1\)

Решаем базовое тригонометрическое уравнение.

                                \( x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\),     \(k∈Z\).


Ответ: \( x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\),     \(k∈Z\).


Смотрите также:
Деление многочлена на многочлен уголком

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*