Деление многочлена на многочлен "уголком"

В этой статье рассмотрим один из способов разложения на множители многочленов высших степеней. С его помощью вы сможете решать уравнения и неравенства вида:

\(x^3+6x^2+11x+6=0\)
\(x^3-2x-4=0\)
\(x^3+2x^2-5x-6<0\)
\(x^4-3x^3+6x-4≥0\)

Пошаговый алгоритм разложения на множители с помощью деления «уголком»:

0) Запишите многочлен в стандартном виде, то есть так, чтоб степени одночленов стояли по убыванию.

Пример:
\(6x^2+6+x^3+11x\) записываем как \(x^3+6x^2+11x+6\)

1) Подбором найдите один из корней многочлена.

Для этого вместо \(x\) подставьте по очереди числа: \(±1,±2,±3,±4,±5\) и т.д. Число, которое сделает многочлен нулем и будет его корнем.

Пример:
\(x^3+6x^2+11x+6\)
Подставим \(1\). Имеем: \(1^3+6 \cdot 1^2+11\cdot 1+6=24\) - не равно нулю. Ищем дальше.
Подставим \(-1\). Получим: \((-1)^3+6\cdot (-1)^2+11\cdot (-1)+6=-1+6-11+6=0\) – значит \(-1\) корень нашего многочлена.

Матхак! Пробуйте сначала числа, на которые свободный член делиться нацело. В данном случае свободный член \(6\), поэтому в первую очередь нужно пробовать числа: \(±1,±2,±3\) и \(±6\).

2) Поделите исходный многочлен на \(x-x_0\), где \(x_0\) – найденный корень. Процесс деления многочлена на многочлен сильно похож на обычное деление в столбик - поэтому и называется деление "уголком".

       а) Запишите многочлены как числа при делении столбиком:

       б) Подберите такой одночлен, чтобы при умножении его на \(x\), получалось первое слагаемое исходного многочлена, то есть в нашем случае \(x^3\). Очевидно, что таким одночленом будет \(x^2\).

        в) Умножьте этот одночлен на делитель и запишите результат под исходным многочленом. Таким образом, мы умножаем \(x^2\) на \(x+1\) и получаем \(x^3+x^2\).

        г) Теперь точно так же, как в случае деления натуральных чисел, поставьте знак минус, проведите горизонтальную черту и сделайте вычитание.

        д) Повторите шаги б) – г) только уже с новым многочленом:
                - подберите такой одночлен, чтобы при умножении на \(x\) первое слагаемое было таким же, как в новом многочлене: в нашем примере этим одночленом будет \(5x\).
              - умножьте этот одночлен на делитель: умножив \(5x\) на \(x+1\) получим \(5x^2+5x\).
              - вычтите получившиеся многочлены:

        е) И вновь повторяем шаги б) – г) до тех пор, пока после вычитания не останется ноль.

3) Запишите новый вид многочлена, представив его как произведение делителя и частного.
\(x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x^2+5x+6)\)

Матхак! Если есть сомнения в правильности разложения, можно проверить его раскрытием скобок – в результате должен получиться исходный многочлен.
Проверим наш случай: \((x+1)(x^2+5x+6)=x^3+5x^2+6x+x^2+5x+6=x^3+6x^2+11x+6\).
Получен исходный многочлен, значит, поделили правильно.

Матхак! Если в результате деления у вас в остатке получился не ноль, значит, скорее всего, в решении есть ошибка.

Давайте теперь решим пример с применением изученного материала.

Пример: Решите неравенство \(x^4-3x^3+6x-4≥0\).

Решение:

\(x^4-3x^3+6x-4≥0\)	Найдем один из корней многочлена слева. Проверим \(1\).
\(1: 1^4-3·1^3+6·1-4=0\)	Поделим многочлен \(x^4-3x^3+6x-4\) на \((x-1)\) уголком. Однако замечаем, что у нас нет слагаемого с квадратом. Чтоб нам было удобнее решать, запишем вместо него выражение \(0·x^2\) (ведь его значение равно нулю, а значит оно ничего не меняет в исходном многочлене).
	Запишем новый вид нашего неравенства.
\((x-1)(x^3-2x^2-2x+4)≥0\)	С первой скобкой все хорошо, а вот вторую надо бы разложить еще. Так как высшая степень в ней - куб, то мы можем попробовать разложить методом группировки, что проще чем деление в столбик. У первых двух слагаемых вынесем за скобку \(x^2\), а у третьего и четвертого – минус двойку.
\((x-1)(x^2 (x-2)-2(x-2))≥0\)	Теперь выносим общую скобку \((x-2)\) за скобку.
\((x-1)(x-2)(x^2-2)≥0\)	Но и это еще не все, потому что \(x^2-2\) можно разложить с помощью формулы сокращенного умножения «разность квадратов»: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
\((x-1)(x-2)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})≥0\)	Вот сейчас все готово для применения метода интервалов.
	Запишем ответ.

Ответ: \((-∞;-\sqrt{2}]∪[1;\sqrt{2}]∪[2;∞)\).