Тригонометрические уравнения. Как решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.

 

Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов.


Примеры:

\(2\sin{⁡x} = \sqrt{3}\)
tg\({3x}=-\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)




Как решать тригонометрические уравнения:

Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:

\(\sin⁡t=a\),      \(\cos⁡t=a\),      tg\(t=a\),     ctg\(t=a\)

где \(t\) – выражение с иксом, \(a\) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности (тригонометрического круга) или специальных формул:

\(\sin ⁡x=a\)  \(⇔\) \( \left[ \begin{gathered}x=\arcsin a+2πn, n∈Z\\ x=π-\arcsin a+2πl, l∈Z\end{gathered}\right.\)
если \(a∈[-1;1]\)

\(\cos⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)
если \(a∈[-1;1]\)

tg⁡\(x=a\)
\(x=\)arctg⁡a\(+πk, k∈Z\)

ctg\(x=a\)
\(x=\)arcctg\(a+πk, k∈Z\)


Инфографику о решении простейших тригонометрических уравнений смотри здесь: \(sinx=a\), \(cosx=a\), \(tgx=a\) и \(ctgx=a\).

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\sin⁡x=-\)\(\frac{1}{2}\).
Решение:

sin x=-0,5

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим оси.
2) Построим окружность.
3) На оси синусов (оси \(y\)) отметим точку \(-\)\(\frac{1}{2}\).
4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку.
5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(-\)\(\frac{π}{6}\),\(-\)\(\frac{5π}{6}\).
7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=-\)\(\frac{π}{6}\)\(+2πk\), \(k∈Z\); \(x=-\)\(\frac{5π}{6}\)\(+2πn\), \(n∈Z\)

Ответ: \(\left[ \begin{gathered}x=-\frac{π}{6}+2πk, \\ x=-\frac{5π}{6}+2πn, \end{gathered}\right.\)\(k,n∈Z\)

Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео.

Внимание! Уравнения \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) не имеют решений, если \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны \(-1\) и меньше или равны \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\)                           \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример. Решить уравнение \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Ответ: решений нет.


Пример. Решите тригонометрическое уравнение tg\(⁡x=1\).
Решение:

tg x=1

Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого:
1) Построим окружность)
2) Построим оси \(x\) и \(y\) и ось тангенсов (она проходит через точку \((0;1)\) параллельно оси \(y\)).
3) На оси тангенсов отметим точку \(1\).
4) Соединим эту точку и начало координат - прямой.
5) Отметим точки пересечения этой прямой и числовой окружности.
6)Подпишем значения этих точек: \(\frac{π}{4}\),\(\frac{5π}{4}\)
7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в \(π\), то все значения можно записать одной формулой:

\(x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\), \(k∈Z\).

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πk\), \(k∈Z\).


Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(\cos⁡(3x+\frac{π}{4})=0\).
Решение:

cosx=0

Опять воспользуемся числовой окружностью.
1) Построим окружность, оси \(x\) и \(y\).
2) На оси косинусов (ось \(x\)) отметим \(0\).
3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку.
4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности.
5) Подпишем значения этих точек: \(-\)\(\frac{π}{2}\),\(\frac{π}{2}\).
6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).

\(3x+\)\(\frac{π}{4}\)\(=±\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\), \(k∈Z\)

7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.

\(3x+\)\(\frac{π}{4}\)\(=\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\)                  \(3x+\)\(\frac{π}{4}\)\(=-\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\)

8) Как обычно в уравнениях будем выражать \(x\).
Не забывайте относиться к числам с \(π\), так же к \(1\), \(2\), \(\frac{1}{4}\) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!

\(3x=-\)\(\frac{π}{4}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\)               \(3x=-\)\(\frac{π}{4}\)\(+\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+2πk\) \(|:3\)                    \(3x=-\)\(\frac{3π}{4}\)\(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac{π}{12}\)\(+\)\(\frac{2πk}{3}\)                  \(x=-\)\(\frac{π}{4}\)\(+\)\(\frac{2πk}{3}\)

Ответ:    \(x=\)\(\frac{π}{12}\)\(+\)\(\frac{2πk}{3}\)           \(x=-\)\(\frac{π}{4}\)\(+\)\(\frac{2πk}{3}\),   \(k∈Z\).


Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы, и особые методы решений уравнений:
- Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ). 
- Метод разложения на множители.
- Метод вспомогательных аргументов. 


Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения

Пример. Решите тригонометрическое уравнение \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)

Сделаем замену \(t=\cos⁡x\).

\(t=\cos⁡x\)

\(2t^2-5t+2=0\)

Наше уравнение превратилось в типичное квадратное. Можно его решить с помощью дискриминанта.

\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)

\(t_1=\)\(\frac{5-3}{4}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\);      \(t_2=\)\(\frac{5+3}{4}\)\(=2\)

Делаем обратную замену.

\(\cos⁡x=\)\(\frac{1}{2}\);                 \(\cos⁡x=2\)

Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности.
Второе уравнение не имеет решений т.к. \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и двум быть равен не может ни при каких иксах.

cosx=0,5

Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.

Ответ: \(x=±\)\(\frac{π}{3}\)\(+2πk\), \(k∈Z\).


Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:

Пример(ЕГЭ). Решите тригонометрическое уравнение \(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\)\(=0\)

\(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\)\(=0\)

Есть дробь и есть котангенс – значит надо записать ОДЗ. Напомню, что котангенс это фактически дробь:

ctg\(x=\)\(\frac{\cos⁡x}{\sin⁡x}\)

Потому ОДЗ для ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).

ОДЗ: ctg\(x ≠0\);         \(\sin⁡x≠0\)

одз в тригонометрическом уравнении

\(x≠±\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\);     \(x≠πn\);       \(k,n∈Z\)

Отметим «нерешения» на числовой окружности.














Решение:

\(\frac{2\cos^2⁡x-\sin{⁡2x}}{ctg x}\)\(=0\)

Избавимся в уравнении от знаменателя, умножив его на ctg\(x\). Мы можем это сделать, так как выше написали, что ctg\(x ≠0\).

\(2\cos^2⁡x-\sin⁡{2x}=0\)

Применим формулу двойного угла для синуса: \(\sin⁡{2x}=2\sin⁡x\cos⁡x\).

\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)

Если у вас руки потянулись поделить на косинус – одерните их! Делить на выражение с переменной можно если оно точно не равно нулю (например, такие: \(x^2+1,5^x\)). Вместо этого вынесем \(\cos⁡x\) за скобки.

\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)

«Расщепим» уравнение на два.

\(\cos⁡x=0\);                       \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)

Первое уравнение с решим с помощью числовой окружности. Второе уравнение поделим на \(2\) и перенесем \(\sin⁡x\) в правую часть.

cosx=0

\(x=±\)\(\frac{π}{2}\)\(+2πk\), \(k∈Z\).            \(\cos⁡x=\sin⁡x\)

Корни, которые получились не входят в ОДЗ. Поэтому их в ответ записывать не будем.
Второе уравнение типичное однородное. Поделим его на \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не может быть решением уравнения т.к. в этом случаи \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡x=-1\)).

                                                           ctg\(x=1\)

Опять используем окружность.

ctg x=1
\(x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πn\),    \(n∈Z\)








Эти корни не исключаются ОДЗ, поэтому можно их записывать в ответ.

Ответ: \(x=\)\(\frac{π}{4}\)\(+πn\), \(n∈Z\). Скачать статью


Хочу задать вопрос

*