Тангенс

Тангенс – одна из тригонометрических функций. Как и для всех других функций, значение тангенса определяется для конкретного угла или числа (в этом случае используют числовую окружность.


Примеры:

\(tg⁡\:30^° =\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(tg⁡\:(\frac{π}{3})=\sqrt{3}\)
\(tg\:⁡2=-2,185…\)



Содержание:


Аргумент и значение тангенса

аргумент и значение тангенса

Аргументом тангенса может быть:
- как число или выражение с Пи: \(1,3\), \(\frac{π}{4}\), \(π\), \(-\frac{π}{3}\) и т.п.
- так и угол в градусах: \(45^°\), \(360^°\),\(-800^°\), \(1^° \) и т.п.

Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).


Значение тангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): \(1\), \(\sqrt{3}\), \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\), \(-0,1543…\)




Тангенс острого угла

Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника - он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Пример:

1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.

угол

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

противолежащий катет к прилежащему

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.

вычисление тангенса




Вычисление тангенса числа или любого угла

Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших \(360°\) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:

\(tg\: t=\)\(\frac{sin\:⁡t}{cos\:⁡t}\)

Пример. Вычислите \(tg\:0\).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус \(0\). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:

определение тангенса через синус и косинус

Точка \(0\) на числовой окружности совпадает с \(1\) на оси косинусов, значит \(cos\:0=1\). Если из точки \(0\) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку \(0\), значит \(sin\:⁡0=0\). Получается: \(tg\:0=\)\(\frac{sin\:⁡0}{cos\:⁡0}\) \(=\)\(\frac{0}{1}\)\(=0\).

Ответ: \(0\).


Пример. Вычислите \(tg\:(-765^\circ)\).
Решение:   \(tg\: (-765^\circ)=\)\(\frac{sin\:(-⁡765^\circ)}{cos\:⁡(-765^\circ)}\)
Что бы вычислить синус и косинус \(-765^°\). Отложим \(-765^°\) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на \(720^°\) , а потом еще на \(45^°\).

вычисление тангенса -765 градусов через синус и косинус

\(sin⁡(-765^°)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(cos⁡(-765^°)=\frac{\sqrt{2}}{2}\) ;
получается \(tg(-765^°)= -\frac{\sqrt{2}}{2} ∶ \frac{\sqrt{2}}{2}=-1\).

Ответ: \(-1\).


Пример. Вычислите \(tg\:\frac{π}{3}\).
Решение:   \(tg\: \frac{π}{3}=\)\(\frac{sin\:⁡\frac{π}{3}}{cos\:⁡\frac{π}{3}}\). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
\(sin⁡(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(cos⁡(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}\) ;
получается \(tg(\frac{π}{3})= \frac{\sqrt{3}}{2} ∶ \frac{1}{2}= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}\).

Ответ: \(\sqrt{3}\).




Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг - для этого надо на нем построить дополнительную ось:

Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.

ось тангенсов

Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.


Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.

Пример. Вычислите \(tg\:\frac{π}{4}\).
Решение:   
1)Отмечаем \(\frac{π}{4}\) на окружности.

как с помощью оси тангенсов определить tg пи на 4

2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.

Проводим через данную точку и начало координат прямую

3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется \(1\).

Ответ: \(1\).



Пример. Вычислите \(tg\: 45°\) и \(tg\: (-240°)\).
Решение:   
Для угла \(45°\) (\(∠KOA\)) тангенс будет равен \(1\), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку \(A\), пересекает ось тангесов. А для угла \(-240°\) (\(∠KOB\)) тангенс равен \(-\sqrt{3}\) (приблизительно \(-1,73\)).

определение тангенса любого угла через окружность

Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.


В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от \(-∞\) до \(+∞\), то есть может быть любым.

значение тангенса

При этом тангенс не определен для:
1) всех точек \(A\) (значение в Пи: …\(-\)\(\frac{7π}{2}\),\(-\)\(\frac{3π}{2}\),\(\frac{π}{2}\), \(\frac{5π}{2}\), \(\frac{9π}{2}\) …; и значение в градусах: …\(-630°\),\(-270°\),\(90°\),\(450°\),\(810°\)…)
2) всех точек \(B\) (значение в Пи: …\(-\)\(\frac{9π}{2}\),\(-\)\(\frac{5π}{2}\),\(-\)\(\frac{π}{2}\), \(\frac{3π}{2}\), \(\frac{7π}{2}\) …; и значение в градусах: …\(-810°\),\(-450°\),\(-90°\),\(270°\)…) .

Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).

Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.




Знаки по четвертям

С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.

Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.

знаки тангенса по четвертям




Связь с другими тригонометрическими функциями:

косинусом того же угла: формулой \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac{1}{cos^2⁡x}\) 

синусом и косинусом того же угла: \(tg⁡\:x=\)\(\frac{sin\:⁡x}{cos⁡\:x}\) 

котангенсом того же угла: формулой \(ctg⁡\:x=\)\(\frac{1}{tg\:x}\) 
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.



Смотрите также:
Формулы приведения


Скачать статью


Хочу задать вопрос

*