Однородные уравнения и неравенства

\(\sin⁡x=\sqrt{3}\cos⁡x\)

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

\(\cos⁡x≠0\)

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

\(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\)\(=\sqrt{3}\)

Заменим \(\frac{\sin⁡x}{\cos⁡x}\)\(=tgx\)

\(tg x= \sqrt{3}\)

Решим тригонометрическое уравнение.

\(x=\)\(\frac{π}{3}\)\(+πk\), \(k∈Z\)

Запишем ответ.

\(7\cdot9^{x^2-3x+1}+5\cdot6^{x^2-3x+1}-48\cdot 4^{x^2-3x}=0\)

Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми.
Представим \(48\cdot 4^{x^2-3x}\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^{x^2-3x}\).

\(7\cdot 9^{x^2-3x+1}+5\cdot 6^{x^2-3x+1}-12 \cdot 4^1\cdot 4^{x^2-3x}=0\)

«Соединим» \(4^1\) и \(4^{x^2-3x}\) по свойству  степеней   \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\) .

\(7\cdot 9^{x^2-3x+1}+5\cdot 6^{x^2-3x+1}-12 \cdot 4^{x^2-3x+1}=0\)

Получился классический вид однородного уравнения.
Поделим уравнение на \(4^{x^2-3x+1}\) .
Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.

\(7\cdot\)\((\frac{9}{4})^{x^2-3x+1}\)\(+5\cdot\)\((\frac{6}{4})^{x^2-3x+1}\)\(-12=0\)

Сократим \(6\) и \(4\).

\(7\cdot\)\((\frac{9}{4})^{x^2-3x+1}\)\(+5\cdot\)\((\frac{3}{2})^{x^2-3x+1}\)\(-12=0\)

Обратите внимание: \((\frac{3}{2})^2\)\(=\)\(\frac{9}{4}\). С учетом этого сделаем замену.

\(t=\)\((\frac{3}{2})^{x^2-3x+1}\)
\(t>0\)

Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.

\(7t^2+5t-12=0\)

Решим уравнение.

\(D=25+336=361=(19)^2\)
\(t_1=\)\(\frac{-5+19}{14}\)\(=1\)
\(t_2=\)\(\frac{-24}{14}\)\(=\)\(\frac{-12}{7}\) - нет корней т.к. \(t>0\)

Сделаем обратную замену.

\((\frac{3}{2})^{x^2-3x+1}\)\(=1\)
\((\frac{3}{2})^{x^2-3x+1}\)\(=\)\(\frac{3}{2}^0\)
\(x^2-3x+1=0\)
\(D=9-4=5\)
\(x_1=\)\(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)          \(x_2=\)\(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\)

\(5\cdot25^{\frac{1}{x}}+3\cdot10^{\frac{1}{x}}≥2\cdot4^{\frac{1}{x}}\)

Здесь показатели степени уже в «приличном» виде. Можно поделить на \(4^{\frac{1}{x}}\), т.к., \(4^{\frac{1}{x}}>0\).

\(5\cdot\)\(\frac{25^{\frac{1}{x}}}{4^{\frac{1}{x}}}\)\(+3\cdot\)\(\frac{10^{\frac{1}{x}}}{4^{\frac{1}{x}}}\)\(≥2\)

Применим свойство степеней \(\frac{a^n}{b^n}\)\(=\)\((\frac{a}{b})^n\).

\(5\cdot\)\((\frac{25}{4})^{\frac{1}{x}}\)\(+3\cdot\)\({(\frac{10}{4})}^{\frac{1}{x}}\)\(≥2\)

Сократим вторую дробь и перенесем двойку в левую часть.

\(5\cdot\)\((\frac{25}{4})^{\frac{1}{x}}\)\(+3\cdot\)\({(\frac{5}{2})}^{\frac{1}{x}}\)\(-2≥0\)

Сделаем замену \(t=\)\({(\frac{5}{2})}^{\frac{1}{x}}\) (отметим, что \(t>0\) при любом \(x\)).

\(5t^2+3t-2≥0\)

Решим квадратное неравенство.

\(D=9+40=49=7^2\)
\(t=\)\(\frac{-3-7}{10}\)\(=-1\)
\(t=\)\(\frac{4}{10}\)\(=\)\(\frac{2}{5}\)

Чтобы вернуться к исходной переменной (иксу) перейдем к совокупности неравенств, дающих такое же решение, как получилось на числовой оси.

\(\left[ \begin{gathered}t≤-1 \\ t≥\frac{2}{5} \end{gathered}\right.\)

Первое неравенство не имеет смысла (помните условие \(t>0\)?) , поэтому решаем только второе.

\(t≥\)\(\frac{2}{5}\)     \(⇔\)      \((\frac{5}{2})^{\frac{1}{x}}\)\(≥\)\(\frac{2}{5}\)    \(⇔\)      \(\frac{1}{x}\)\(≥-1\)

Перенесем \(-1\) в левую часть и приведем к общему знаменателю.

\(\frac{1+x}{x}\)\(≥0\)
\(\frac{x+1}{x}\)\(≥0\)

Применим метод интервалов.

Обратите внимание, ноль – выколот, так как при \(x=0\) у нас будет деление на ноль слева. А вот точка \(-1\) вколота, так как неравенство нестрогое.