Степень с целым показателем (8 класс)
N-ой степенью числа \(a\) – называют выражение вида \(a^n\), значение которого равно произведению \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\).
\(3^5=3\cdot 3\cdot 3 \cdot3 \cdot 3 =243\)
\((-5)^3=(-5)\cdot (-5)\cdot (-5)=-125\)
\(7^1=7\)
\(0^n=0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot ... \cdot 0=0\)
Анатомия степени:
\(a\) - основание степени |
|
Свойства степеней:
1. \(a^1=a\)
2. \(1^n=1\)
3. \(0^n=0\) \((n≠0)\)
4. \(a^0=1\) \((a≠0)\)
5. \(a^n·a^m=a^{n+m}\)
6. \(\frac{a^n}{a^m}\)\( =a^{n-m}\) \((a≠0)\) 7. \(a^n·b^n=(a·b)^n\)
8. \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\) \((\frac{a}{b})^n\) \((b≠0)\)
9. \((a^n)^m\)=\(a^{n·m}\)
10. \(a^{-n}=\)\(\frac{1}{a^n}\) \((a≠0)\) 11. \((\frac{a}{b})^{-n}\) \(=\) \((\frac{b}{a})^{n}\) \((a≠0,b≠0)\) |
Наиболее важные свойства степени с примерами вы можете найти здесь.
Знание свойств степени позволяет упрощать выражения или вычислять их значения быстрее и легче. Продемонстрируем на примерах.
Пример. Вычислите \(\frac{x^{22}·x^{-5}}{x^{15}}\) при \(x=3\).
Решение:
\(=\)\(\frac{x^{22}·x^{-5}}{x^{15}}\)\(=\)\(\frac{x^{22+(-5)}}{x^{15}}\)\(=\)\(\frac{x^{17}}{x^{15}}\)\(=\)\(x^{17-15}\)\(=\)\(x^2=3^2=9\) |
\(\frac{3^{22}·3^{-5}}{3^{15}}\)\(=\)\(\frac{31381059609\cdot \frac{1}{243}}{14348907}\)\(=\)\(\frac{129140163}{14348907}\)\(=\)\(9\) |
Чувствуете разницу? В первом случае задача решается практически в уме, во втором – нам требуется инженерный калькулятор.
Пример. Вычислите \(\frac{7^{9}·2^{6}}{(\frac{1}{14})^{-8}}\).
Решение:
\(\frac{7^{9}·2^{6}}{(\frac{1}{14})^{-8}}\)\(=\) |
В знаменателе у нас дробь в отрицательной степени. Используем свойство \((\frac{a}{b})^{-n}\) \(=\) \((\frac{b}{a})^{n}\) |
|
\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{(\frac{14}{1})^{8}}\)\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{14^{8}}\)\(=\) |
Здесь мы не можем применить никакие свойства, потому что нам нужно, чтоб были одинаковы либо показатели, либо основания. Подумаем, как можно преобразовать выражение, чтоб это получить. Заметим, что \(14 = 7·2\). Значит, можно заменить. |
|
\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{(7 \cdot 2)^{8}}\)\(=\) |
Теперь используем свойство \(a^n\cdot b^n=(a \cdot b)^n\), но только в обратную сторону, вот так: \((a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n\) |
|
\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{7^8 \cdot 2^8}\)\(=\) |
Вспоминая свойства дробей (а конкретно - их перемножение) разобьем нашу дробь на две отдельные. |
|
\(=\)\(\frac{7^9}{7^8}\)\(\cdot\)\(\frac{2^6}{2^8}\)\(=\) |
|
Теперь воспользуемся свойством \(\frac{a^n}{a^m}\) \(=\) \(a^{n-m}\) |
\(= 7^{9-8}· 2^{6-8}= 7^1·2^ {-2}=\) |
|
Любое число в первой степени равно самому себе: \(a^1=a\). |
\(=7 \cdot\)\(\frac{1}{2^2}\) \(= 7 \cdot\) \(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{7}{4}\)\(=1,75\) |
|
Готов ответ. |
Пример. Вычислите \((\frac{(-2,42)^{75} \cdot 0,01^{-58}}{(\frac{1}{3})^{84}})^0\)
Решение: Прежде чем падать в обморок от ужаса, обратите внимание, что вся эта страшная дробь стоит в степени \(0\). А любое число в \(0\) степени равно \(1\). Поэтому ответ: \(1\).
Ответ: \(1\)
Пример. Найдите значение выражения \(2^{1-3x} \cdot 8^x\)
Решение:
\(2^{1-3x} \cdot 8^x =\) |
У нас опять разные основания и разные показатели. Но мы можем сделать основания одинаковыми, так как \(8=2·2·2=2^3\). |
|
\( =2^{1-3x} \cdot (2^3 )^x = \) |
При возведении степени в степень – показатели перемножаются \((a^n)^m=a^{n·m}\) |
|
\(=2^{1-3x}·2^{3x} = \) |
Теперь основания одинаковы, можем использовать свойство \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\) |
|
\(=2^{1-3x+3x} = 2^1=2\) |
Готов ответ. |
Хочу задать вопрос
- вычислим чему равно, например, 3 в нулевой степени:
3^0
- представим 0 как разность двух чисел, например, как 2-2:
3^(2-2)
- по свойству номер 6, это равно делению двух степеней:
3^2 / 3^2
то есть 9 / 9.
А это равно 1.
Вы можете взять любое другое число вместо основания (то есть вместо тройки), и записать ноль любой разностью, хоть 5-5, хоть 100 - 100 - все равно придете к делению двух одинаковых степеней. А два одинаковых числа при делении дадут 1.
Поэтому a^0 = 1