Степень с целым показателем (8 класс)

.

N-ой степенью числа \(a\) – называют выражение вида \(a^n\), значение которого равно произведению \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\).

степенем с целым показателем для сайта.png

Примеры:

\(3^5=3\cdot 3\cdot 3 \cdot3 \cdot 3 =243\)
\((-5)^3=(-5)\cdot (-5)\cdot (-5)=-125\)
\(7^1=7\)
степень с целым.png
\(0^n=0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot ... \cdot 0=0\)



Анатомия степени:


\(a\) - основание степени
\(n\) - показатель степени
\(a^n\) - степень

степень1.png



Свойства степеней:

1. \(a^1=a\)

2. \(1^n=1\)

3. \(0^n=0\)                             \((n≠0)\)

4. \(a^0=1\)                             \((a≠0)\)

5. \(a^n·a^m=a^{n+m}\)

6. \(\frac{a^n}{a^m}\)\( =a^{n-m}\)                    \((a≠0)\)

7. \(a^n·b^n=(a·b)^n\)

8. \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\) \((\frac{a}{b})^n\)                  \((b≠0)\)

9. \((a^n)^m\)=\(a^{n·m}\)

10. \(a^{-n}=\)\(\frac{1}{a^n}\)                      \((a≠0)\)

11. \((\frac{a}{b})^{-n}\) \(=\) \((\frac{b}{a})^{n}\)       \((a≠0,b≠0)\)

Наиболее важные свойства степени с примерами вы можете найти здесь.

Знание свойств степени позволяет упрощать выражения или вычислять их значения быстрее и легче. Продемонстрируем на примерах.

Пример. Вычислите \(\frac{x^{22}·x^{-5}}{x^{15}}\) при \(x=3\).

Решение:

\(=\)\(\frac{x^{22}·x^{-5}}{x^{15}}\)\(=\)\(\frac{x^{22+(-5)}}{x^{15}}\)\(=\)\(\frac{x^{17}}{x^{15}}\)\(=\)\(x^{17-15}\)\(=\)\(x^2=3^2=9\)

\(\frac{3^{22}·3^{-5}}{3^{15}}\)\(=\)\(\frac{31381059609\cdot \frac{1}{243}}{14348907}\)\(=\)\(\frac{129140163}{14348907}\)\(=\)\(9\)

Чувствуете разницу? В первом случае задача решается практически в уме, во втором – нам требуется инженерный калькулятор.

Пример. Вычислите \(\frac{7^{9}·2^{6}}{(\frac{1}{14})^{-8}}\).

Решение:

\(\frac{7^{9}·2^{6}}{(\frac{1}{14})^{-8}}\)\(=\)

В знаменателе у нас дробь в отрицательной степени. Используем свойство \((\frac{a}{b})^{-n}\) \(=\) \((\frac{b}{a})^{n}\)

\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{(\frac{14}{1})^{8}}\)\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{14^{8}}\)\(=\)

 

Здесь мы не можем применить никакие свойства, потому что нам нужно, чтоб были одинаковы либо показатели, либо основания. Подумаем, как можно преобразовать выражение, чтоб это получить. Заметим, что \(14 = 7·2\). Значит, можно заменить.

\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{(7 \cdot 2)^{8}}\)\(=\)

 

Теперь используем свойство \(a^n\cdot b^n=(a \cdot b)^n\), но только в обратную сторону, вот так: \((a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n\)

\(=\)\(\frac{7^{9}·2^{6}}{7^8 \cdot 2^8}\)\(=\)

 

Вспоминая свойства дробей (а конкретно - их перемножение) разобьем нашу дробь на две отдельные. 

\(=\)\(\frac{7^9}{7^8}\)\(\cdot\)\(\frac{2^6}{2^8}\)\(=\)


Теперь воспользуемся свойством \(\frac{a^n}{a^m}\) \(=\) \(a^{n-m}\)

\(= 7^{9-8}· 2^{6-8}= 7^1·2^ {-2}=\)


Любое число в первой степени равно самому себе: \(a^1=a\).
Отрицательный показатель «переворачивает» основание степени: \(a^{-n}=\) \(\frac{1}{a^n}\)
С учетом этого получаем:.

\(=7 \cdot\)\(\frac{1}{2^2}\) \(= 7 \cdot\) \(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{7}{4}\)\(=1,75\)


Готов ответ.

Ответ: \(1,75\)

Пример. Вычислите \((\frac{(-2,42)^{75} \cdot 0,01^{-58}}{(\frac{1}{3})^{84}})^0\)

Решение: Прежде чем падать в обморок от ужаса, обратите внимание, что вся эта страшная дробь стоит в степени \(0\). А любое число в \(0\) степени равно \(1\). Поэтому ответ: \(1\).

Ответ: \(1\)



Пример. Найдите значение выражения \(2^{1-3x} \cdot 8^x\)

Решение:

\(2^{1-3x} \cdot 8^x =\)

У нас опять разные основания и разные показатели. Но мы можем сделать основания одинаковыми, так как \(8=2·2·2=2^3\).

\( =2^{1-3x} \cdot (2^3 )^x = \)

 

При возведении степени в степень – показатели перемножаются \((a^n)^m=a^{n·m}\)

\(=2^{1-3x}·2^{3x} = \)

 

Теперь основания одинаковы, можем использовать свойство \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\)

\(=2^{1-3x+3x} = 2^1=2\)

 

Готов ответ.

Ответ: \(2\) Скачать статью


Хочу задать вопрос

*