Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную - например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.




Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 
\((a-b)=a-b\)


Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:

Плюс перед скобкой

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).


Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:
\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.

Как раскрывать скобки если перед ними стоит минус?

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 
\(c(a-b)=ca-cb\)


Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.


Как раскрывать скобку, если перед ней стоит число?

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Отрицательное число перед скобкой

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).


Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Умножение скобку на скобку или многочлен на многочлен

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…

Произведение двух скобок

- потом второе.

Умножение скобку на скобку

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Приведение подобных слагаемых

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.




Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)

Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.

\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)

Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.

\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)

Упрощаем получившееся выражение…

\(=7x+10-6x-2y=\)

…и приводим подобные.

\(=x+10-2y\)

Готово.


Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)

Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.

\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)

Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.

\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)

Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.

\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)

Вновь приводим подобные.

\(=-(10x-18)=\)

И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.

\(=-10x+18\)

Готово.

Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.


Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью


Хочу задать вопрос

*
а как раскрыть скобку (5-х)-10
Администратор сайта
Перед (5-x) не стоит ни знак плюс, ни знак минус - значит имеют в виду знак плюс (математики так договорились, чтоб короче записывать выражения). Плюс перед скобкой не меняет знаков в скобке. Таким образом, имеем:
(5-x)-10=5-x-10=-x-5
P.S. Посмотрите первый абзац в разделе "Правила раскрытия скобок" и первый пример в нем же.

С уважением,
Константин.
Александр
Здравствуйте вопрос такой: есть правило Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть c(a−b)=ca−cb
но к примеру есть 4×(-2,5x) будет -10x или - 10×4x как правильно и почему ?

Администратор сайта
Здравствуйте, Александр.
Спасибо за хороший вопрос.
Чтоб на него ответить, нужно вспомнить в чем смысл скобок. Зачем они нужны?
Ответ: скобки меняют порядок действий при вычислениях. Если, например, мы в выражение 5×2 + 1 добавим скобки, вот так: 5×(2 + 1), то значение выражения уже будет не 11, а 15 (т.к. действие 2+1 будет вычисляться первым). Это понятно.
Теперь давайте разберем ситуацию произведения трех сомножителей, то есть а×b×c. Добавим скобки сюда, вот так: а×(b×c). Измениться ли что-нибудь?
Ответ: нет, не измениться, потому что от перемены мест множителей произведение не меняется. Например, 2×3×4 всегда равно 24, хоть сначала умножь 2 на 3, а потом результат на 4, хоть сначала 3 на 4, а потом результат на 2. Действительно
2×3×4 = 6×4 = 24
2×(3×4) = 2×12 = 24
То есть, а×b×c = а×(b×c). Иными словами, наличие скобок в цепочке последовательных умножений не играет никакой роли.
Теперь, понимая всё это разбираем ваш пример. 4×(-2,5х) – это по сути произведение 4×(-2,5×х). А с учетом вышесказанного, оно равно 4×(-2,5)×х. Зная, что четыре умножить на -2,5 дает -10, получаем ответ:
4×(-2,5х) = 4×(-2,5)×х = -10×х = -10х
P.S. Если что-то осталось неясным - задавайте еще вопросы.
С уважением.
Сергей
Здравствуйте!
если перед множителем скобки стоит знак деления, на пример 4:2(1+1), то каков порядок выполнения действий и по каким правилам.
Нас учили (школу окончил 50 лет назад), что опущенный знак умножения дает приоритет при решении и выполняется после действия в скобках, а затем выполняется деление, т.е. 4:2*2=4:4=1. Другими словами скобка и множитель перед ней единое число. Внучка (учится в 4 классе) говорит что вначале выполняется действие в скобках, затем деление, затем частное умножается на результат скобок. И ответ, естественно получается другой.
Кто из нас прав?
Да замечу, что в примере внучки знак умножения стоит, т.е. 4:2*(1+1)
Администратор сайта
Здравствуйте, Сергей.
Общие правила вычисления значений числовых выражений таковы:
1) сначала выполняются действия в скобках
2) затем вычисляются степени, корни, логарифмы, синусы и т.д. (если они есть)
3) затем умножение и деление в порядке слева направо
4) затем сложение и вычитание в порядке слева направо.
Причем внутри скобок также действуют правила 2, 3 и 4.
Таким образом, ваша внучка права – в данном вами примере будет следующий порядок вычислений:4:2(1+1) = 4:2*2 = 2*2 = 4
Отмечу, что наличие или отсутствие знака умножения между числом и скобкой на порядок вычисления никак не влияет – знак умножения опускают просто для сокращения записи. Суть при этом не меняется совсем.

С уважением,
Константин.
Камила
А как раскрыть эти скобки: (1-2x)(1-3x)
Администратор сайта
Здравствуйте, Камила.
По последнему правилу, только перед d в формуле будет минус.
(1-2x)(1-3x) = 1*(1-3x) - 2х*(1-3x) = ...
дальше как обычно.