Раскрытие скобок: правила и примеры (7 класс)
Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную - например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.
Правила раскрытия скобок
Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря:
\((a-b)=a-b\)
Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.
Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).
Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).
Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:
\(-(a-b)=-a+b\)
Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.
Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.
Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть:
\(c(a-b)=ca-cb\)
Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой - пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) - напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.
Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).
Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.
При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку - каждый ее член умножаем на скобку вторую:
Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
- сначала первое…
- потом второе.
Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:
Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.
Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.
Скобка в скобке
Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).
Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
- внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
- раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.
При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть.
Давайте для примера разберем написанное выше задание.
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:
|
\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\) |
Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было. |
|
|
\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)
|
Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю. |
|
| \(=7x+2·5-2·3x-2·y=\) |
Упрощаем получившееся выражение… |
|
|
\(=7x+10-6x-2y=\) |
||
|
\(=x+10-2y\) |
Готово. |
Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\) |
Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\) |
Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\) |
Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\) |
Вновь приводим подобные. |
|
|
\(=-(10x-18)=\) |
И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные. |
|
|
\(=-10x+18\) |
Готово. |
Раскрытие скобок - это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.
Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки
Скачать статью
Присоединяйтесь к нашей группе ВКонтакте
Хочу задать вопрос
(5-x)-10=5-x-10=-x-5
P.S. Посмотрите первый абзац в разделе "Правила раскрытия скобок" и первый пример в нем же.
С уважением,
Константин.
но к примеру есть 4×(-2,5x) будет -10x или - 10×4x как правильно и почему ?
Спасибо за хороший вопрос.
Чтоб на него ответить, нужно вспомнить в чем смысл скобок. Зачем они нужны?
Ответ: скобки меняют порядок действий при вычислениях. Если, например, мы в выражение 5×2 + 1 добавим скобки, вот так: 5×(2 + 1), то значение выражения уже будет не 11, а 15 (т.к. действие 2+1 будет вычисляться первым). Это понятно.
Теперь давайте разберем ситуацию произведения трех сомножителей, то есть а×b×c. Добавим скобки сюда, вот так: а×(b×c). Измениться ли что-нибудь?
Ответ: нет, не измениться, потому что от перемены мест множителей произведение не меняется. Например, 2×3×4 всегда равно 24, хоть сначала умножь 2 на 3, а потом результат на 4, хоть сначала 3 на 4, а потом результат на 2. Действительно
2×3×4 = 6×4 = 24
2×(3×4) = 2×12 = 24
То есть, а×b×c = а×(b×c). Иными словами, наличие скобок в цепочке последовательных умножений не играет никакой роли.
Теперь, понимая всё это разбираем ваш пример. 4×(-2,5х) – это по сути произведение 4×(-2,5×х). А с учетом вышесказанного, оно равно 4×(-2,5)×х. Зная, что четыре умножить на -2,5 дает -10, получаем ответ:
4×(-2,5х) = 4×(-2,5)×х = -10×х = -10х
P.S. Если что-то осталось неясным - задавайте еще вопросы.
С уважением.
если перед множителем скобки стоит знак деления, на пример 4:2(1+1), то каков порядок выполнения действий и по каким правилам.
Нас учили (школу окончил 50 лет назад), что опущенный знак умножения дает приоритет при решении и выполняется после действия в скобках, а затем выполняется деление, т.е. 4:2*2=4:4=1. Другими словами скобка и множитель перед ней единое число. Внучка (учится в 4 классе) говорит что вначале выполняется действие в скобках, затем деление, затем частное умножается на результат скобок. И ответ, естественно получается другой.
Кто из нас прав?
Да замечу, что в примере внучки знак умножения стоит, т.е. 4:2*(1+1)
Общие правила вычисления значений числовых выражений таковы:
1) сначала выполняются действия в скобках
2) затем вычисляются степени, корни, логарифмы, синусы и т.д. (если они есть)
3) затем умножение и деление в порядке слева направо
4) затем сложение и вычитание в порядке слева направо.
Причем внутри скобок также действуют правила 2, 3 и 4.
Таким образом, ваша внучка права – в данном вами примере будет следующий порядок вычислений:4:2(1+1) = 4:2*2 = 2*2 = 4
Отмечу, что наличие или отсутствие знака умножения между числом и скобкой на порядок вычисления никак не влияет – знак умножения опускают просто для сокращения записи. Суть при этом не меняется совсем.
С уважением,
Константин.
Ведь, если раскрыть скобки, то 2(1+1) = (2*1+2*1) или
2(1+1) = 2*(2)
Скобки указывают на очерёдность действий.
4:2(1+1) это вариант алгебраической записи, так как именно в алгебре разрешается пропуск знака умножения. Но если взять само определени
е алгебры, то там отсутствует переменная.
Здесь нужно уточнить, что именно имел ввиду автор данного примера. Потому что запись немного некорректна.
Все зависит от того, кто и с какой точки зрения рассматривает данный пример, кто и как что-то там добавляет или нет.
По данному примеру, по сути, ответа нет из-за, еще раз повторюсь, некорректности записи.
По последнему правилу, только перед d в формуле будет минус.
(1-2x)(1-3x) = 1*(1-3x) - 2х*(1-3x) = ...
дальше как обычно.
Как это решается,не могли бы вы привести пример для этого случая?
Возведение скобки в квадрат это по сути умножение этой скобки самой на себя. А умножать две скобки друг на друга можно по правилу описанному выше. Тем самым имеем:
(х/3 - 3у)^2 =
= (х/3 - 3у) * (х/3 - 3у) =
= x/3 * (х/3 - 3у) - 3y * (х/3 - 3у) =
= x^2/9 - 3yx/3 - 3yx/3 + 9y^2 =
= x^2/9 - xy - xy + 9y^2 =
= x^2 / 9 - 2xy + 9y^2
Тот же результат можно получить быстрее, если воспользоваться формулами сокращенного умножения (смотрите статью http://cos-cos.ru/math/140/ ). Потому что формулы сокращенного умножения как раз и получаются с помощью раскрытия скобок:
(а-b)^2 =
=(a-b)(a-b)=
= a(a-b) - b(a-b) =
= a^2 - ab - ba + b^2 =
= a^2 - 2ab + b^2
Если вы теперь вместо a и b подставите свои выражения (х/3 и 3у соответственно) - получите тот же результат.